1S1 : DEVOIR SURVEILLÉ N°1 (2 heures)

Exercice 1 (4 points) Résoudre, dans , les équations suivantes : 1. (x - 2)(x + 5) = 0 2. x 2 + 3x = 0 3. x 2 - 8 = 0 4. x 3 + x 2 + x + 1 = 0.

Exercice 2 (4 points) On donne le trinôme du second degré P défini sur  par : P(x) = 4 x 2 - ( 6 + 4 3 )x + 3 2 1. Montrer que P admet 6 pour racine. 4

2. Trouver l'autre racine (en valeur exacte). Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur  par P(x) = (x +1) – (4x + 2) .
2 2 2

1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré. 2. Résoudre l'équation P(x) = 0.

Exercice 4 (2 points) Soit P la fonction polynôme définie sur  par : P(x) = a x 2 + bx + c (avec a ¹ 0) Démontrer que : Si a et c sont de signes opposés alors P admet au moins une racine réelle Exercice 5 (4 points) Résoudre l'inéquation : - x 4 + 17 x 2 - 16  0

Exercice 6 (2 points) Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et [AB] tels que AD = BE = x. (Voir figure ci-contre) . Déterminer x pour que l'aire du triangle ADE soit égale à la moitié de l'aire de celle du triangle ABC. Données : AB = 18m ; AC = 8m.

B x E

A

x

D

C

DS 1 - 1S

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G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

1S1 : DS 1 CORRIGÉ (succinct)
Exercice 1 1. 2. 3. 4. On a : x - 2 = 0 ou x + 5 = 0 d'où S = {-5 ; 2}. En factorisant par x, on obtient : x(x + 3) = 0. D'où S = {-3 ; 0}. En factorisant, à l'aide de l'identité A2 - B2 = (A - B)(A + B), on obtient : (x - 2 2 )(x + 2 2 ) = 0, d'où S = {- 2 2 ; 2 2 }. En remarquant que x + x = x (x + 1), on peut immédiatement factoriser l'équation : x (x + 1) + x + 1 = 0, d'où (x + 1)( x + 1) = 0. On en déduit : S = {-1}. Exercice 2
3 2 2 2 2

1.

On calcule : P 6 4

æ ç è

6ö 4

÷ ø

=4´

6 16

-( 6 +4 3 )

6 4

+3 2 =

3 2

-

6 4

-

18 + 3 2 = 0.

Donc x1 =

est bien une racine de P. b a 6 4 + x2 = 6 4 + 3 , d'où x2 =

2.

L'autre racine x2 vérifie :