2 ` ALGEBRE
Exercice 2.1. Soit E l’espace vectoriel des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, o` n o e e e a u est un entier naturel non nul. Pour λ r´el non nul, on d´finit l’application uλ qui au polynˆme P de E e e o associe le polynˆme : o 1 uλ (P )(X) = 1 P (X) + λ P (t) dt X 2 0 1. Montrer que uλ est un endomorphisme de E. 2. Pour quelles valeurs de λ, uλ est-il un automorphisme de E ? D´terminer e alors l’automorphisme u−1 . λ 3. D´terminer les valeurs propres et les sous-espace propres de uλ . L’endomorphisme e uλ est-il diagonalisable ? Solution : 1. L’application uλ est lin´aire, par lin´arit´ de l’int´gration. Comme e e e e
1

λ
0

P (t) dt X est un polynˆme de degr´ inf´rieur ou ´gal ` 1, il vient : o e e e a deg uλ (P ) max(deg(P ), 1) n,

ce qui montre que uλ est un endomorphisme de E. 2. Soit P ∈ Ker(uλ ).
1

→ Si
0

P (t) dt = 0 ou si λ = 0, alors uλ (P ) = 1 P = 0 donne P = 0. 2
1

→ Si
0 1

P (t)dt = 0 et si λ = 0, alors uλ (P ) = 0 donne P = P (t) dt X, donc P (X) est de la forme αX, avec α = −2λ α , et : 2

−2 λ
0

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• •

ESCP-EAP 2005 - Oral Si λ = −1, α = 0 et P = 0. Si λ = −1, α est quelconque et Ker(u−1 ) = Vect(X). uλ ∈ GL(E) ⇐⇒ Ker(uλ ) = {0} ⇐⇒ λ = −1

Ainsi E ´tant de dimension finie : e Pour d´terminer l’inverse de uλ , utilisons la lin´arit´ de u−1 . Ainsi : e e e λ P (X) = 1 u−1 (P ) + λ 2 λ Par ailleurs : uλ (X) = 1 X + X.λ 2
1 0 1 0

P (t) dt u−1 (X) λ t dt = λ + 1 X 2

et donc, puisque λ = −1 : u−1 (X) = 2 X. λ λ+1 Finalement : 1 P (t) dt u−1 (P ) = 2P + 2λ X λ λ+1 0 3. L’´quation uλ (P ) = αP s’´crit e e α − 1 P (X) = λX 2
1

P (t) dt
0

e • Pour λ = 0, on a simplement u0 (P ) = 1 P , et u0 est l’homoth´tie de E 2 1 . Tout polynˆme est polynˆme propre associ´ ` l’unique valeur de rapport o o ea 2 1. propre 2 • Supposons donc maintenant λ = 0. • Pour α = 1 . Comme λ = 0, l’´quation se r´duit ` e e a P (t) dt = 0, donc 2 0 1 est valeur propre de u et le sous-espace propre associ´ est le