Universit´ e Lille I
Alg`ebre et th´eorie des nombres

2009/10
Math308

Fiche n◦ 4: Th´eor`emes de Sylow

Exercice 1 Soient G un groupe fini et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que si H et
G/H sont des p-groupes, il en est de mˆeme de G.
Exercice 2 Soit G un p-groupe et H un sous-groupe distingu´e de G. Montrer que H ∩ Z(G) n’est pas r´eduit `a l’´el´ement neutre. En d´eduire que le centre Z(G) d’un p-groupe est non trivial.
Exercice 3 Soit G un p-groupe d’ordre pr .
(a) Montrer que pour tout entier k r, G poss`ede un sous-groupe distingu´e d’ordre pk .
(b) Montrer qu’il existe une suite G0 = {1} ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gr = G de sous-groupes Gi distingu´es d’ordre pi (i = 1, . . . , r).
(c) Montrer que pour tout sous-groupe H de G d’ordre ps avec s < r, il existe un sous-groupe d’ordre ps+1 de G qui contient H.
Exercice 4 Soit G un groupe d’ordre 2p, o` u p est un nombre premier sup´erieur ou ´egal `a 3.
Montrer que G contient un unique sous-groupe H d’ordre p et que ce sous-groupe est distingu´e.
V´erifier que les seuls automorphismes d’ordre 2 d’un groupe cyclique d’ordre p sont l’identit´e et le passage `a l’inverse. En d´eduire que le groupe G est soit cyclique, soit non commutatif, auquel cas il poss`ede deux g´en´erateurs s et t v´erifiant les relations sp = 1, t2 = 1 et tst−1 = s−1 .
Exercice 5 Soit G un groupe non commutatif d’ordre 8.
(a) Montrer que G contient un ´el´ement a d’ordre 4 et que le sous-groupe H de G engendr´e par a est distingu´e dans G.
(b) On suppose ici qu’il existe un ´el´ement b de G \ H qui est d’ordre 2. Soit K le sous-groupe engendr´e par b. Montrer que dans ce cas G est isomorphe au produit semi-direct de H par K, le g´en´erateur b de K agissant sur H via l’automorphisme x → x−1 . Le groupe est alors isomorphe au groupe di´edral D4 .
(c) Dans le cas contraire, soit b un ´el´ement d’ordre 4 de G n’appartenant pas `a H. Montrer que a2 est le seul ´el´ement d’ordre 2 de G, que le centre Z(G) de G est ´egal `a {1, a2 }. On pose
−1 = a2