Le gyroscope par Gilbert Gastebois

1. Schémas

2. Étude du mouvement d'une toupie.
Une toupie est un gyroscope dont l'une des extrémités de l'axe est posée sur le sol sans possibilité de glissement. ω0 : vitesse angulaire de rotation du gyroscope autour de son axe d : distance entre le centre de gravité du disque et le point de contact de son axe avec le sol
I : moment d'inertie du gyroscope autour de son axe
Ip : moment d'inertie du gyroscope autour de l'axe vertical de précession
L : vecteur moment cinétique du gyroscope
L0 : vecteur moment cinétique du gyroscope autour de son axe L0 = Iω0
Lp : vecteur moment cinétique du gyroscope autour de la verticale ( précession )d : distance du centre de gravité du gyroscope au point de contact avec le sol θ : angle du gyroscope avec la verticale φ : angle du gyroscope autour de la verticale
Ω : vitesse angulaire moyenne de rotation du gyroscope autour de la verticale ( vitesse angulaire de précession ) Ω = dφ/dt τ : vecteur moment du poids par rapport au point de contact avec le support
Loi de Newton pour un solide tournant : dL/dt = τ dLx/dt = τx = mgd sinθ cosφ dLy/dt = τy = mgd sinθ sinφ dLz/dt = τz = 0 dLz/dt = τz = 0 => Lz = constante
C'est la constance de Lz qui explique la précession du gyroscope, en effet quand on abandonne le gyroscope, il tend à s'incliner sous l'effet de τ, ce faisant, L0z diminue, il faut donc un terme supplémentaire Lp pour maintenir Lz constant, ce terme provient de la précession du gyroscope autour de l'axe vertical à la vitesse angulaire Ω

3. Vitesse angulaire de précession. dL = L sinθ dφ ( Voir schéma ) dL/dt = L sinθ dφ/dt dL/dt = L Ω sinθ => dL/dt = Ω ^ L or dL/dt = τ = mgd sinθ
L sin θ Ω = mgd sinθ
L Ω = mgd
Ω étant toujours très inférieur à ω0, Lp est très inférieur à L0
L² = L0² + Lp² + 2 L0Lp sin θ
L0 >> Lp donc L² = L0² + 2 L0Lp sinθ = L0² (1 + 2 Lp/L0 sinθ)
Lp/ L0 << 1 donc L = L0 (1 + Lp/ L0 sinθ)
L est donc très voisin de L0 et vaut donc environ Iω0, L = Iω0
On a donc Iω0 Ω =