Kurt Gödel
Kurt Gödel est également un célèbre logicien et mathématicien austro-américain du 20ème siècle. Son résultat le plus connu, le théorème d'incomplétude de Gödel, affirme que n'importe quel système logique suffisamment puissant pour décrire l'arithmétique des entiers admet des propositions sur les nombres entiers ne pouvant être ni infirmées ni confirmées à partir des axiomes de la théorie. Qu’est-ce que cela signifie ?

A. Le théorème d’incomplétude de Gödel
Le fameux théorème de Gödel prouve que quoi qu’on fasse, il existe des énoncés mathématiques vrais, mais indémontrables. Les mathématiques resteront donc à tout jamais un édifice imparfait !
Quand on fait des mathématiques, on manipule des énoncés. Un énoncé est une suite de symboles ou une phrase ayant un sens mathématique précis. Par exemple 2 + 2 = 4 ou « Il existe une infinité de nombres premiers » sont des énoncés mathématiques. Un énoncé mathématique est soit vrai, soit faux : 2 + 2 = 5 est un énoncé faux.
Quand on considère un énoncé mathématique, on ne sait pas forcément à l’avance s’il est vrai ou faux. Le travail du mathématicien est d’essayer de savoir lesquels sont vrais et lesquels sont faux. Pour cela il utilise la démonstration comme outil irréfutable.
Si un mathématicien arrive à démontrer un énoncé, on considère que cet énoncé est
« vrai ». S’il démontre le contraire, alors on dit que l’énoncé est faux.
Les mathématiques reposent donc sur l’idée que si un énoncé est vrai, alors il doit en exister une démonstration, et il n’y a plus qu’à la trouver. Mais est-on sûr que tout ce qui est vrai est forcément démontrable ? Se pourrait-il qu’il existe des choses vraies mais indémontrables ?
S’il existe des choses vraies mais indémontrables, cela signifie qu’il y a des questions mathématiques auxquelles les mathématiciens ne peuvent pas répondre. Pour couper court à cette inquiétude, au début du XXème siècle, des chercheurs ont voulu asseoir les maths sur des bases