Montre à Quartz :

Effet Piézo-électrique : Compression d'un morceau de quartz dans une direction particulière, faisant apparaître une tension aux bornes du cristal.

Intérêt du système : Grande Stabilité au cours du temps.

I/ Modèle Mécanique : Le Résonateur à Quartz :

Un cristal de quartz est taillé sous forme de pastille cylindrique mince.
Diamètre : d = 1 cm
Épaisseur : e = 0,2 mm
Des électrodes métalliques ( en or généralement ) sont déposées sur chacune des faces circulaires du Quartz, on parle d'électrode de connexion.
On réalise ainsi un condensateur plan.

Actions Mécanique :

On soumet le disque piézo-électrique à une Tension V(t) sinusoïdale qui va provoquer la vibration sinusoïdale du Quartz.
Forces exercées sur le Système : Force liée à la rigidité du matériau : Force de rappel élastique de la forme : -kx ( k > 0 ) Frottements proportionnels à la vitesse : -h(dx/dt) ( h > 0 ) Force du à l'effet Piézo-électrique : βV(t) avec V(t) = Vcos(wt) Le poids du système est négligé

RFD :

m(d²x/dt²) = - kx – h(dx/dt) + βV(t) => On suppose que toutes les forces sont exercées suivant Ox

II/ Modèle électrique :

Charge équivalente du Système / Équation de la Charge :

La charge q du système provient :

du condensateur formé par les 2 électrodes ( q1 ) , on note sa capacité Cp= ε0 εr S/e ( Condensateur plan ) e épaisseur condensateur, S surface d’une électrode, εr une constante =2.3, ε0 permittivité du vide de l'effet piézo-électrique provoquant l'apparition d'une charge q2 = γx(t)

V(t)
Dans les conditions choisies on a Cp = 8.10-12 F

q1= Cp V(t)

Équation différentielle vérifiée par q2 (en reprenant celle de x(t)):

(E1) d²q2/dt² + (h/m)dq2/dt + (k/m)q2 = (βγ/m)V(t)

On peut alors représenter le système sous la forme du circuit électrique suivant :

(E2) d²q/dt² + (R/L)dq/dt + 1/(LCs)q = (1/L)V(t)

On identifie alors : L = m/(βγ) R =