TS

5°) Propriété

Limites de suites (3)

• Si un réel M est un majorant d’une suite u, alors tous les réels supérieurs ou égaux à M sont aussi des majorants de la suite u.

I. Rappels sur les suites majorées, minorées, bornées

• Si un réel m est un minorant d’une suite u, alors tous les réels inférieurs ou égaux à m sont aussi des minorants de la suite u.

1°) Définition 1 (suite majorée, minorée, bornée)

u est une suite.
• On dit que u est majorée pour exprimer qu’il existe un réel M tel que ∀ n ∈ N un

Cette propriété se démontre très facilement.

M (M est un
Cette propriété justifie l’emploi de l’article indéfini quand on parle de majorant ou de minorant d’une suite.

majorant de la suite).
• On dit que u est minorée pour exprimer qu’il existe un réel m tel que ∀n ∈ »

un

m

II. Limites des suites monotones

(m est un

minorant de la suite).

1°) Propriété

• On dit que u est bornée pour exprimer qu’il existe deux réels m et M tels que ∀n ∈ » m

un

M.

• Si une suite croissante a pour limite le réel L, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à L.
• Si une suite décroissante a pour limite le réel L, alors tous les termes de la suite sont supérieurs ou égaux à L.

2°) Définition 2 (majorant, minorant)

2°) Démonstration

• Un majorant d’une suite u est un réel fixe (indépendant de n) tel que tous les termes de la suite soient inférieurs ou égaux à ce réel.

On se place dans le cas d’une suite croissante convergente ; la démonstration est analogue dans le cas d’une suite décroissante convergente.

• Un minorant d’une suite u est un réel fixe (indépendant de n) tel que tous les termes de la suite soient supérieurs ou égaux à ce réel.

Considérons une suite croissante ( un ) de limite L.
Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe terme u p > L.

3°) Interprétation graphique

Alors par croissance de la suite, pour tout n

• u est majorée par un réel M signifie que tous les points de sa représentation graphique dans un repère du
plan