RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Exemple 1
On considère la proposition P(n) dépendant d'un entier n : « 10n - (-1)n est un multiple de 11 »
(On rappelle qu'un nombre est multiple de 11 lorsqu'il s'écrit sous la forme 11 x k avec k ∈ ZZ )
Vérifions que cette proposition est vraie pour les entiers n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4.
Pour n = 0 :
10n - (-1)n = 100 - (-1)0 = 1 - 1 = 0 = 11 x 0
Pour n = 1 :
10n - (-1)n = 101 - (-1)1 = 10 - (-1) = 10 + 1 = 11 = 11 x 1
Pour n = 2 :
10n - (-1)n = 102 - (-1)2 = 100 - 1 = 99 = 11 x 9
Pour n = 3 :
10n - (-1)n = 103 - (-1)3 = 1 000 - (-1) = 1 000 + 1 = 1 001 = 11 x 91
Pour n = 4 :
10n - (-1)n = 104 - (-1)4 = 10 000 - 1 = 9 999 = 11 x 909
On pourrait continuer ainsi les vérifications, mais quelque soit le nombre de vérifications effectuées, on ne peut pas affirmer que cette proposition est vraie pour tout entier naturel n.
Pour justifier que cette proposition est vraie pour tout entier naturel n, démontrons le résultat suivant :
Si la proposition est vraie pour le rang n, alors elle est vraie pour le rang suivant n+1 .
Pour cela, supposons que la proposition est vraie pour un rang n (n étant un entier naturel fixé).
Alors pour cet entier naturel n, on a : c'est-à-dire 10n - (-1)n = 11 x k avec k ∈ ZZ
« 10n - (-1)n est un multiple de 11 »
On veut alors démontrer que la proposition est vraie pour n+1 c'est-à-dire que 10n+1 - (-1)n+1 = 11 x K , K ∈ ZZ

Puisque 10n - (-1)n = 11 x k avec k ∈ ZZ , on peut écrire
10n = 11 x k + (-1)n donc 10 x 10n = 10 [11 x k + (-1)n] (en multipliant les deux membres par 10) donc 10n+1 = 110 x k + 10 x (-1)n donc 10n+1 - (-1)n+1 = 110 x k + 10 x (-1)n - (-1)n+1 (en enlevant (-1)n+1 aux deux membres) donc 10n+1 - (-1)n+1 = 110 x k + (-1)n [10 - (-1)1] donc 10n+1 - (-1)n+1 = 110 x k + (-1)n [10 + 1] donc 10n+1 - (-1)n+1 = 11 [10 k + (-1)n ] k étant un entier, le nombre K =10 k + (-1)n est aussi un entier.
On a donc démontré que 10n+1 - (-1)n+1 = 11 x K avec K ∈ ZZ .
On a donc démontré le caractère "héréditaire" de la