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Vibrations de flexion des poutres
N. Rémy-Martin, D. Royer, N. Trappler
Résumé : on propose une réalisation en Mathematica de programmes pour le calcul des régimes vibratoires libres de poutres homogènes. Mots-clés : poutre, vibration, régime libre, mode propre, déformée. Abstract : a Mathematica implementation is put forward in order to compute the vibratory behaviour of homogeneous beams. Keywords : beam, vibration, free vibrations, eigen mode, blucking.

ü Introduction
Nous nous proposons de réaliser un programme permettant de trouver les modes propres des vibrations de flexion d'une poutre homogène. Nous verrons par ailleurs que cette détermination se fera en introduisant quelques hypothèses simplificatrices. Dès lors le problème consiste en la résolution d'une équation aux dérivées partielles. Nous verrons que la résolution du problème se fait grâce à la connaissance des conditions aux limites. La démarche adaptée amène deux possibilités de détermination des solutions : le calcul exact ou approché. Des rencontres avec des mécaniciens et des spécialistes de Mathematica ont permis de déterminer l'ergonomie souhaitable du programme. La réalisation est simplifiée par le langage symbolique de Mathematica avec lequel on programme directement des formules mathématiques.

ü Etude préliminaire : modélisation de la poutre
Lors de l'étude d'une poutre en flexion, divers paramètres interviennent, ceux-ci pouvant être liés au matériau utilisé ainsi qu'aux dimensions de la poutre. Le module de Young (E) et la masse volumique (r) sont les caractéristiques propres au matériau. La section (S), le moment quadratique (I) et la longueur de la poutre (L) sont les paramètres géométriques à prendre en compte pour la résolution du problème. Rappelons la définition du moment quadratique : I=Ÿ ŸS y2 dS

Figure 1 : calcul du moment quadratique y y

G

Æy

x

x

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ü Mouvement de flexion
Considérons une poutre