Master 1 GSI. Universit´ de Provence. e Atelier Matlab. .

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TP3 : Interpolation de Lagrange. 1 Objectif du TP

– Examiner pratiquement les propri´t´s des polynˆmes d’interpolation de Lagrange. ee o Le but de l’approximation est de d´finir une courbe qui approche au mieux un ensemble e de donn´es (d´finies chacune par un couple (x,y)). Cette courbe peut ˆtre d´finie par un e e e e polynˆme ou autrement (en fonction d’exponentielles, de sinus...). o Ici nous choisirons des polynˆmes. o Dans le cas de l’interpolation, la courbe approximante passe exactement par les donn´es e et on parle de “valeurs interpol´es” entre les donn´es et “valeurs extrapol´es” ` l’ext´rieur e e e a e de cet ensemble de points. Dans le cas de l’approximation, la courbe approximante ne passe pas n´cessairement par e les donn´es mais s’en rapproche selon un crit`re donn´ ` l’avance. e e ea

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Exercices pr´paratoires e

Exercice 1 : Soit f une fonction continue sur [a, b] et x0 , .., xn , n + 1 points distincts dans [a, b]. Le polynˆme de degr´ m dit des moindres carr´s, est le polynˆme de degr´ m qui minimise o e e o e n sur l’ensemble des polynˆmes p de degr´ m, la quantit´ i=0 |f (xi ) − p(xi )|2 . o e e 1. Rappeler en quoi consiste la m´thode des moindres carr´s et montrer que r´soudre e e e le probl`me de minimisation est ´quivalent ` r´soudre un syst`me lin´aire que l’on e e a e e e explicitera. Montrer que si m ≤ n, le probl`me d’optimisation admet une solution e unique. 2. On rappelle que le polynˆme d’interpolation de Lagrange des donn´es x0 , x1 , ..xn et o e f (x0 ), f (x1 ), · · · , f (xn ), est d´fini par e n n

L(x) = i=0 f (xi ) j=0 j=i

x − xj . xi − xj

V´rifier que pour tout i ∈ {0, · · · m}, L(xi ) = f (xi ). En d´duire que dans le cas o` e e u m = n, le polynˆme de Lagrange et celui des moindres carr´s co¨ o e ıncident. C’est ce r´sultat qu’on utilise dans le TP. Ainsi le polynˆme d’interpolation sur des e o donn´es x0 , x1 , ..xn et f (x0 ) = y0 , f (x1