ÉLECTROCINÉTIQUE - ASSOCIATION DE DIPÔLES - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE

Association de résistances
1.a. • La résistance de la branche de droite est 3r, donc l’assemblage des deux branches en parallèle a une résistance R1 telle que : [pic] = [pic] = [pic] c’est-à-dire : R1 = [pic].

1.b. • La maille de droite du second montage est identique au premier montage, sa résistance est donc R1. • Le second montage est donc équivalent au suivant, dont la branche de droite a pour résistance 2r+R1 = [pic] :
[pic]

• L'ensemble a donc une résistance R2 telle que : [pic] = [pic] = [pic] c’est-à-dire : R2 = [pic].

2.a. • Pour n+1 branches en parallèle, la résistance de l’ensemble des n branches de droite est 2r+Rn, donc l’assemblage des n+1 branches a une résistance Rn+1 telle que : [pic] = [pic] c’est-à-dire : Rn+1 = [pic]. • Si la limite R pour n → ∞ existe, elle est telle que : R = [pic] c’est-à-dire : R2 + 2rR - 2r2 = 0 d’où on tire : R = [pic] ≈ 0,73205 r.

2.b. • On constate que R1 ≈ 0,75 r ; R2 ≈ 0,733 r ; R3 ≈ 0,73205 r ; ce qui montre que la suite est très rapidement convergente.

Électrolyseur
1. • L'énoncé indique E > 0 donc le schéma du générateur correspond à la convention de signe "usuelle". Puisque l'électrolyseur est un dipôle passif, le générateur impose dans les branches de droite un courant du haut vers le bas, ce qui correspond à I ≥ 0. ◊ remarque : le courant peut être nul si la tension imposée entre ses bornes est insuffisante pour provoquer l'électrolyse.

2. • Avec les notations de Thévenin, on peut utiliser le schéma équivalent suivant (où on a aussi schématisé le montage du rhéostat) :
[pic]

3. • La loi de Millmann donne ainsi (en cours d'électrolyse) : UAB = [pic] = [pic]. • Mais par ailleurs : UAB = E’ + R’ I, donc (tant que cette relation correspond à une valeur positive) : I = [pic] = [pic]. • La relation précédente est ainsi valable pour x ≥ x0 = [pic] = 4 Ω ;