Amérique du sud 2017. Enseignement spécifique
EXERCICE 5 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
Un biologiste souhaite étudier l’évolution de la population d’une espèce animale dans une réserve.
Cette population est estimée à 12 000 individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les 60 000 individus.
Partie A : un premier modèle
Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5 % par an. …afficher plus de contenu…

1) On considère la fonction g définie sur R par g(x) = −
1, 1
605
x2 + 1, 1x.
a) Justifier que g est croissante sur [0 ; 60].
b) Résoudre dans R l’équation g(x) = x.
2) On remarquera que un+1 = g (un).
a) Calculer la valeur arrondie à 10−3 de u1. Interpréter.
b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 ! un ! 55.
c) Démontrer que la suite (un) est croissante.
d) En déduire la convergence de la suite (un).
e) On admet que la limite ℓ de la suite (un) vérifie g(ℓ) = ℓ. En déduire sa valeur et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.
3) Le biologiste souhaite déterminer le nombre d’années au bout duquel la population dépassera les 50 000 individus avec ce second modèle. Il utilise l’algorithme suivant.
Variables n un entier naturel u un nombre …afficher plus de contenu…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u prend la valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n prend la valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fin Tant Que
Sortie Afficher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il affiche en sortie le plus petit entier r tel que ur " 50. http ://www.maths-france.fr 1 c⃝ Jean-Louis Rouget, 2018. Tous droits réservés.Amérique du sud 2017. Enseignement spécifique
EXERCICE 5 : corrigé
Partie A : un premier modèle
1) Soit n un entier naturel. vn+1 = vn +
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