TD Dérivation
1

Etude de dérivabilité :

Exercice 1 Soit f la fonction définie pour t ∈ 0, π2 , par f (t) =

1 sin(t) − 1t .

Montrer que f peut être prolongée en une fonction de classe C 1 sur 0, π2 .
Exercice 2 Déterminer les limites suivantes : sin(x− π3 )
a) limπ 1−2 cos(x)
b) lim

xn −1 x−→1 x−1

x−→ 3

c) limπ cos(x)−sin(x)
4x−π
x−→ 4

Exercice 3 Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée là où elle existe :
2
x
|
b) f : x −→ (arccos(x2 ))
c) f : x −→ arcsin (1 − x2 )
a) f : x −→ ln | x−1
Exercice 4 Etudier la dérivabilité de la fonction f: R

→

x −→

R
1 + x si x ∈ Q
3 − x si x ∈
/Q

Exercice 5 Pour chacune des fonctions suivantes, la fonction est-elle de classe C 1 sur l’intervalle où elle est définie, déterminer la dérivée là où elle existe :
a) f : x −→

1 x −

cos(x) sin(x) si x ∈ 0, π2 si x = 0

0
√
d) f : x −→ (x + 1) 1 − x2

b) f : x −→
e) f : x −→

ex. ln(x) si x > 0
1
si x = 0 x−ln(x+1) x

0

si x > 0 si x = 0

c) f : x −→
f) f : x −→

√ x x x e −1

0 sin2 πx x−1 1

si x > 0 si x = 0 si x > 0 si x = 0

Exercice 6 Soit f une fonction de R dans R vérifiant : ∀(x, y) ∈ R2 , |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|2
1. Montrer que f est continue sur R.
2. Montrer que f est dérivable sur R et ∀ x, f (x) = 0.

2

Dérivabilité de bijection réciproque

Exercice 7 Soit f : x −→ x3 + x.
1. a) Montrer que f est bijective de R dans R, notons g sa bijection réciproque. Donner une relation liant x et g (x).
b) Montrer g est continue et dérivable sur R, et exprimer g en fonction de g.
c) Montrer que g est de classe C ∞ .
2. Déterminer limg, puis montrer que g (x) = x − x3 + ◦ (x3 ).
0

3. Déterminer limg, puis donner un équivalent de g (x) en +∞, puis un développement asymptotique à
+∞
deux termes de g en +∞.
4. Donner un équivalent de g (x) en −∞.

Exercice 8 Soit f : [ π2 ; π[→ R définie par f (x) =

1 sin(x) 1. Montrer que f est une bijection de [ π2 ; π[ sur J que l’on précisera.
2.