Chapitre 1

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Les bases du calcul

Correction du devoir Surveillé 1
Exercice 1. (a) (b) 2. (a) (b) (c) (d) 1. Factoriser-Développer (2x − 1)(x + 3) = 2x2 + 6x − x − 3 (2y − 1)2 = 4y 2 − 4y + 1 x2 − 6x = x(x − 6) (x + 1)(x + 2) + (x + 2)(2x − 1) = (x + 2)(x + 1 + 2x − 1) = 3x(x + 2) 25 − (x + 1)2 = (5 − (x + 1))(5 + x + 1) = (4 − x)(6 + x) x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 (6 points)

Exercice 2. Fractions 4 1 8 3 11 + + 3 2 = 6 6 = 6 = 11 1. A = 5 5 5 30 √ 1+ 5 . 2. On note Φ = 2 (a) Dans un premier temps on a : (1 + puis : Φ =
2

(4 points)

√ 2 √ √ 5) = 1 + 2 5 + 5 = 6 + 2 5
2

√ 1+ 5 2

=

(1 +

√ 4

5)2

√ √ 6+2 5 3+ 5 = = 4 2

√ √ √ 1+ 5+2 3+ 5 1+ 5 +1= = . (b) Φ + 1 = 2 2 2 (c) On en déduit donc que Φ2 = Φ + 1 Exercice 3. Un peu de calcul ! 1. On a 3−3 × 303 39 × (−5)
12

(3 points)
4

× 46

=

3012 612 × 512 312 × 212 = 12 = 12 =1 33 × 39 × 512 × (22 )6 3 × 512 × 212 3 × 212

2. √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ A = 20 50 − 8 162 + 4 2 + 36 = 20 25 × 2 − 8 81 × 2 + 4 2 + 6 = 100 2 − 72 2 + 4 2 + 6 = 32 2 + 6 Exercice 4. Utiliser une égalité 1. On a : (4 points)

(a + b − c)(a + b + c) = a2 + ab + ac + ab + b2 + bc − ac − bc − c2 = a2 + 2ab + b2 − c2 = (a + b)2 − c2 2. D’après l’identité précédente pour a = √ √ √ 2, = 3 et c = 5 on a : √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 2 √ ( 2 + 3 − 5)( 2 + 3 + 5) = ( 2 + 3)2 − 5 = 2 + 2 6 + 3 − 5 = 2 6 Exercice 5. Encore du calcul ! 1. On considère deux nombres x et y. On sait que leur somme vaut 314, on a donc x + y = 314. On a : (3 points)

(x + 9)(y + 9) = xy + 9x + 9y + 81 = xy + 9(x + y) + 81 = xy + 9 × 314 + 81 = xy + 2826 + 81 = xy + 2907 1

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2. Désignons par x et y ces deux nombres, on a donc x + y = 314 et on cherche la valeur de (x + 9)(y + 9) − xy D’après la question précédente leur produit augmente donc de 2907.

(Bonus) Exercice 6. Un vieux problème chinois Une ville carré de dimensions inconnues comprend une porte au milieu de