FEUILLE 1 : ESPACES VECTORIELS
1. Dans l’espace vectoriel F(R, R) de toutes les fonctions d´finies sur R ` valeurs r´elles, muni e a e des lois usuelles, ´tudier si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de F(R, R) : e F0 = {f | f (0) = 0} , F1 = {f | f (0) = 1} , B = {f born´e} e , S = {f deux fois d´rivable | f + f = 0} e
1

I= E =

f continue |
0

f (t) dt = 0 x→±∞ f continue |

lim f (x) =

2. On consid`re l’espace vectoriel F(N, R) des suites de nombres r´els. e e (a) Montrer que l’ensemble des suites qui convergent vers z´ro est un sous-espace vectoriel. e (b) Montrer que l’ensemble des suites born´es est un sous-espace vectoriel. e (c) L’ensemble des suites convergentes est-il un sous-espace vectoriel ? 3. Soit E un espace vectoriel de dimension 2 muni d’une base (e1 , e2 ). Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de E ? A := {xe1 + ye2 ; 2x − y = 0} , B := {xe1 + ye2 ; 2x − y = 0} ∪ {xe1 + ye2 ; x − 2y = 0} 4. Soit E un espace vectoriel de dimension 2 et de base B = (e1 , e2 ). Les familles de vecteurs suivants de E sont-elles des familles libres ou li´es? Sont-elles des bases ? Pour chacune de ces e familles, donner son rang. Pour les familles li´es en extraire une famille libre maximale et pour e les familles libres les compl´ter par des vecteurs de B pour obtenir une base de E. e 1) (2e1 + e2 , −e1 + e2 ) ; 2) (−6e1 + 2e2 , 9e1 − 3e2 ) ; 3) (2e2 , e1 + 2e2 , −e1 + 2e2 ). 5. Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et de base B = (e1 , e2 , e3 ). Pour chacune des familles de vecteurs suivants de E, r´pondre aux mˆmes questions que dans l’exercice pr´c´dent. e e e e 1) (e1 + e2 + e3 , −e1 + e2 + e3 ) ; 2) (e1 − e3 , −e1 + e2 , −e2 + e3 ) ; 3) (e1 + e2 + e3 , 2e1 − e2 + 2e3 , e1 − 2e2 − e3 ) ; 6. Soit R3 muni de sa base canonique. Pour chacune des familles de vecteurs suivants de R3 , r´pondre aux mˆmes questions que dans l’exercice pr´c´dent. e e e e 4) ((10, −5, 15) , (−4, 2, −6)) ; 5) ((1, 1, 0)