COMMENT ETUDIER LA DERIVABILITE D’UNE FONCTION NUMERIQUE ?
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit que f est dérivable en a si et seulement si les deux f (a + h) − f (a) f ( x) − f (a) limites équivalentes suivantes lim existent et sont finies = lim h x−a h→0 x→a On dit que f est dérivable sur I si et seulement si elle est dérivable en tout point a de I. Graphiquement cela signifie que sa courbe admet en chacun de ses points une tangente non parallèle à l’axe des ordonnées

1) Si on dispose de sa représentation graphique,
Il suffit de regarder si sa courbe admet en chacun de ses points une tangente qui n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. Si la courbe admet un point anguleux, la fonction ne sera pas dérivable (existence de deux demi-tangentes de coefficients directeurs différents) FONCTIONS NON DERIVABLES FONCTION DERIVABLE

2) Si on dispose de l’expression de la fonction
On doit s’assurer que la fonction est définie en a (condition nécessaire) et que la limite en a du taux d’accroissement f ( x) − f (a) f ( a + h) − f ( a ) existe et est finie. De manière équivalente, on peut calculer lim x−a h h →0 Les raisons pour lesquelles ce n’est pas le cas peuvent être : - limites différentes à gauche et à droite de a - limite infinie en a - non existence de la limite Toutes les fonctions obtenues par opérations ou composition des fonctions usuelles sont dérivables sur chacun des intervalles où ces fonctions le sont.  x 2 − 1 si x < 0  1) Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x ) =  (cas d’une fonction définie à l’aide de 2 expressions)  x − 1 si x ≥ 0  f est dérivable sur ]−∞;0[ en tant que fonction polynôme et sur [ 0;+∞[ en tant que fonction affine. Pour tout x ∈ ]−∞;0[ , f ( x ) − f ( 0) x−0 = f ( x) − f (0) x 2 − 1 − (−1) = 0 donc f est dérivable à gauche en 0 et = x donc lim x x−0 x →0 x 0

′ ′ ′ à droite en 0 et f d ( 0 ) = 1 . Mais comme f g ( 0 ) ≠ f d ( 0 ) , on conclut que f n’est pas dérivable en 0