Algebre Lineaire

Christian JUTTEN Systèmes asservis non linéaires Université Joseph Fourier - Polytech’ Grenoble Cours de troisième année du département 3i Options Automatique Août 2006 1 Table des matières 1 Introduction 1.1 Limitations des méthodes linéaires . . . . . . . . . . . . 1.2 Systèmes non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Non-linéarités dans les systèmes asservis . . . . . . . . . 1.4 Systèmes asservis possédant un seul élément non linéaire 1.5 Exemples de réduction . . . . . .

Licence 1 : ECO-GESTION Ann´e Universitaire 2011/2012 e MATHEMATIQUES OPTIONNELLES : Alg`bre lin´aire 1 e e PARTIEL 2 - JANVIER 2012 Sections 1 et 2 Dur´e : 2 heures e Documents, portables, calculatrices . . . sont interdits. Aucun brouillon ne sera corrig´. e Toutes les r´ponses devront ˆtre justifi´es et r´dig´es avec soin. e e e e e Le barˆme est donn´ ` titre indicatif, il reste susceptible d’ˆtre modifi´. e e a e e Question de cours (8 points) 1. Soit E un espace vectoriel et e1 ,

Travaux Dirigés Mathématiques – S3 Algèbre linéaire & Calcul Matriciel Partie 1 Exercice 3 Exercice 3 L’espace vectoriel considéré dans cet exercice est : E 3 = IR Exercice 3 1) Soit u un vecteur de forme : F1 , u est de la u(x,y,z) avec : 2x  yz 0  z 2x  y Exercice 3 1) Un vecteur u de F peut donc s’écrire : 1 u (x,y,2x  y) On peut décomposer u de la manière suivante : u (x,0,2x)(0,y,y) Donc : u  x(1,0,2) y(0,1,1) xV1

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Applications linéaires, matrices, déterminants Exercice 1. Soit défini pour tout ( ( ) ) par ( ) 1. Montrer que est linéaire. ( ). 2. Déterminer Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Soit ( ) définie pour tout vecteur ( ) ( 1. Montrer que est une application linéaire. ( ( )). 2. Donner une base de ( ), en déduire 3. Donner une base de ( ). Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3

21/10/2010 Algèbre linéaire Contenu du cours : A. Espaces vectoriels de dimension finie, sous-espaces vectoriels, bases, dimension Applications linéaires, noyau, rang, image Matrice d’une application linéaire, Opérations sur les matrices, changement de base, matrices particulières, Diagonalisation B. C. Partie 1 1 21/10/2010 Introduction : Rappels Systèmes d’équations linéaires Un système d’équations linéaires (ou système linéaire ) de n équations et à p inconnus (nous

Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x → √ x et x →∣x∣ Connaître les variations de ces deux fonctions et leur représentation graphique. 1. Démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur [0;+∞[. 2. Justifier les positions relatives des courbes représentatives des fonctions Aucune technicité dans l’utilisation de la valeur absolue n’est attendue. x→ x Sens de variation

la forme f (x) = mx + p où m et p sont des réels sont appelées fonctions affines. Cas particuliers : • si m = 0 alors f (x) = p est dite constante ; • si p = 0 alors f (x) = mx est dite linéaire. Propriété 6.1. La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère est une droite. Celle d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère. On le démontrera plus tard dans l’année. Propriété 6.2. Soit f une fonction déinie sur R. • Si les variations des x et des f (x) sont

tout au long de l’année, des exercices, des activités, des problèmes, ou des travaux pratiques en salle informatique sur le thème du calcul ou de la nature des nombres. Il ne saurait constituer un chapitre à traiter dans sa globalité et de façon linéaire. Chaque chapitre de ce manuel propose des travaux pratiques que nous avons choisis les plus diversifiés possibles. Ils sont classés en trois catégories : • les activités utilisant l’outil informatique ou la calculatrice ; • les activités qui mettent

exercice 1 Calculer x1² + x2² et x13 + x23 où x1 et x2 sont les deux racines de ax² + bx + c. exercice 2 Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x^4 - 3x^2 - 4 = 0 indication : on pourra poser X = x^2 exercice 3 Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante : x - 5\sqrt{x} - 36 = 0 indication : on pourra poser X = \sqrt{x} Exercice 4 On appelle polynôme symétrique un polynôme dont les coefficients peuvent se lire indifféremment dans un sens comme dans l'autre. exemple : f

377 ;....  Chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent.  En prenant les rapports de deux nombres successifs de la suite, on constate que ces rapports se rapprochent du nombre d’or plus les nombres sont élevés dans la suite. En algebre : Le nombre d’or est solution de l’équation x² - x - 1 = 0.  Prouvons-le à l'aide d'un rectangle d'or de largeur 1. Dans ce cas la longueur est égale au nombre d'or. Notons la x.  Mais nous avons vu plus haut que le rapport de la longueur (x)