Application linéaire

différentielle linéaire peut être représentée par une équation algébrique. Cette transformation permet aussi de représenter des fonctions particulières (distribution de Heaviside, distribution de Dirac, etc.) de manière très élégante. Ce sont ces possibilités qui rendent la transformation de Laplace intéressante et populaire auprès des ingénieurs. Cette transformation a donné lieu à la technique du calcul opérationnel ou calcul symbolique qui facilite la résolution des équations différentielles linéaires qui

Q4(x)=(x-2)3 Applications linéaires Équations différentielles a) Montrez qu'une équation différentielle (voir définition du cours du S1) linéaire est une application linéaire de l'ensemble des fonctions dans lui-même. b) Nous allons prendre l'équation différentielles suivantes : y -> xy'-3y Montrez que est stable par cette application linéaire. Quel est le noyau de cette application linéaire ? Identifiez son ensemble image. Donnez la matrice correspondant à cette application linéaire. c) Même question

: E −→ F une application linéaire. 1) Montrer l'équivalence des propriétés suivantes : i) T : (E, . ) −→ (F, . ) est continue. ii) T : (E, σ(E, E )) −→ (F, σ(F, F )) est continue. iii) T : (E, . ) −→ (F, σ(F, F )) est continue. 2 2) Montrer l'implication : T : (E, σ(E, E )) −→ (F, . ) continue =⇒ dimIm(T ) < +∞. Soient X et Y deux espaces vectoriels normés et T un opérateur linéaire continu de Y dans X . Montrer que T est un opérateur dual (c'est-à-dire ∃A : X −→ Y linéaire continue telle

admet une solution et une seule. De plus toute suite minimisante converge vers u. 1.3 Rappels de calcul différentiel Soit J une fonctionnelle définie sur un Hilbert V à valeurs dans R. On note V le dual de V , i.e. l’espace vectoriel des applications linéaires continues sur V à valeurs dans R. 1.3.1 Dérivées premières Définition 1.1 (Différentiabilité) J est différentiable (au sens de Fréchet) en u ∈ V s’il existe l u dans V telle que, ∀w ∈ V, J(u + w) = J(u) + lu (w) + (w) w , lu est la dérivée

Filière de Sciences Économiques et de Gestion Semestre Module Matière : : : S3 M 10 (Méthodes Quantitatives II) Mathématiques II Objectif du cours Introduire l’étudiant à l’algèbre linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et le calcul matriciel ainsi qu’en termes de résolution de systèmes linéaires. Calcul dans Թ Notions élémentaires sur les ensembles Pré-reqcuis recommandé Mode d’évaluation Contrôle final (2h) contrôle de rattrapage (1h30) Déroulement du cours Cours magistraux

Planche no 19. Applications linéaires continues, normes matricielles * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (*) : On munit E = R[X] de la norme 1) Vérifier brièvement que ∞ est une norme sur E. 2) Soit f l’endomorphisme de E défini par ∀P ∈ E, f(P) = XP. Démontrer que l’application f est continue sur (E, déterminer |||f|||. no 2 (**) : On munit E = ℓ∞ (C) le C-espace vectoriel des suites bornées de la norme u ∞ ∞ ∞ définie par

vectoriels, applications linéaires et matrices 3.1 Espaces et sous espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Sous espace stable par une application linéaire . . 3.2.3 Polynômes annulateurs d’une application linéaire . 3.3 Matrices d’une application linéaire

vectoriel. b) Déterminer un supplémentaire de F dans F(R, R). Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 octobre 2013 Applications linéaires Exercice 25 [ 01703 ] [correction] Les applications entre R-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires : a) f : R3 → R définie par f (x, y, z) = x + y + 2z b) f : R2 → R définie par f (x, y) = x + y + 1 c) f : R2 → R définie par f (x, y) = xy d) f : R3 → R définie par f (x, y, z) = x −

uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1er mars 2014 Représentation linéaire matricielles d’une Enoncés application 4 Exercice 33 [ 01275 ] [correction] Soit f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension n ∈ N vérifiant f n = 0 et f n−1 = 0 Exercice 29 [ 01269 ] [correction] Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires f suivantes : a) f : c) f : R3 → R2 (x, y, z) → (x + y, y − 2x + z) R3 [X] → R3

d´signe un corps commutatif. (En pratique K = Q, R ou C). e § G´n´ralit´s. e e e D´f. 1. On appelle K-espace vectoriel un triplet (E, +, .) ayant les propri´t´s suivantes: e ee (E,+) est un groupe ab´lien e . est une application de K × E dans E (l’image de (λ, x) par cette application est not´e λ.x). e ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x + y) = λ.x + λ.y ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α + β).x = α.x + β.x ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E α.(β.x) = (αβ).x ∀x ∈ E 1K .x = x Lemme 2. Soit E un K-ev. Alors: i) ∀α ∈ K α.0E = 0E ii) ∀α ∈ K ∀x ∈ E