Application linéaire

Algèbre linéaire Sommes-nous dans la matrice ? Aller voir Matrix. Qu’est ce qu’un problème linéaire ? Demandons en premier lieu qu’est ce qu’un problème ? Soient E et S deux ensembles. L’ensemble E est l’ensemble des entrées ( ou des données) et S l’ensemble des sorties. Un problème P est un élément du sous-ensemble Ensuite, quand ce problème est-il linéaire ? Quand il existe une relation linéaire entre les entrées et le sorties. Illustration : la linéarisation d’un problème

D´finition e 2. Somme directe 3. Sous-espaces suppl´mentaires e IV. Sous-espace engendr´ par une partie e V. Espace vectoriel produit VI. Applications lin´aires e 1. D´finition e 2. La compos´e de deux application lin´aires est une application lin´aire e e e 3. La r´ciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme e 4. Les images directes et r´ciproques d’un sev par une application lin´aire sont des sev e e 5. D´finition de Ker f et Im f . e 6. f est surjective ⇔ Im f = F et f est injective ⇔ Ker f = {0} VII.

que g induit un isomorphisme g1 de (ker(f ))⊥ sur Im(g). −1 ´e c) Montrer que r1 = f1 ◦ g1 v´ rifie r1 (x) = x pour tout el´ ment x de Im(g). e d) Montrer qu’ il existe une application lin´ aire r2 de (Im(g))⊥ dans (Im(f ))⊥ telle que pour tout x e de Im(g))⊥ , r2 (x) = x . e e e e) En d´ finissant une application lin´ aire r de E dans lui-mˆ me telle que, pour tout x de Im(g), r(x) = r1 (x) et pour tout x de (Im(g))⊥ , r(x) = r2 (x) donner la conclusion. P artie III ´e ´ Soit f un el´

e e ϕ est injective si et seulement si la famille (f1 , . . . , fn ) est g´n´ratrice ; e e ϕ est surjective si et seulement si la famille (f1 , . . . , fn ) est libre. Exercice 5. Soient E et F des espaces vectoriels de dimension finie et f une application lin´aire de E e dans F . 1. D´montrer que tf est injective si et seulement si f est surjective et tf est surjective si et seulement e si f est injective. 2. D´montrer que ker tf = (imf )⊥ et imtf = (ker f )⊥ . e Exercice 6. On se propose de donner

math´matiques e Applications lin´aires e 1 D´finition e Exercice 1. D´terminer si les applications fi suivantes (de Ei dans Fi ) sont e lin´aires : e f1 : (x, y) ∈ R2 → (2x + y, x − y) ∈ R2 , f2 : (x, y, z) ∈ R3 → (xy, x, y) ∈ R3 f3 : (x, y, z) ∈ R3 → (2x + y + z, y − z, x + y) ∈ R3 f4 : P ∈ R[X] → P ∈ R[X], f5 : P ∈ R3 [X] → P ∈ R3 [X] f6 : P ∈ R3 [X] → (P (−1), P (0), P (1)) ∈ R3 , f7 : P ∈ R[X] → P −(X−2)P ∈ R[X]. Exercice 2. Soit E un espace vectoriel de dimension n et ϕ une application lin´aire

. . . . . . . . 1.2. Sous-ensembles . . . . . . . 1.3. Loi de composition interne . 1.4. Ensembles finis . . . . . . . 2. Fonctions et applications 2.1. Applications . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Image, image réciproque d’une partie 2.3. Injection, surjection, bijection . . . . . 2.4. Composition des applications . . . . . 2.5. Ensemble des applications de E vers F . . . . . 3. Structure de Groupe 3.1. Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sous-groupe . . . . . . . . . .

Mathématiques 3 (séance 7 ) Mathématiques 3 (séance 7 ) Naila Hayek Université Panthéon-Assas, Paris 2Mathématiques 3 (séance 7 ) Matrice d’une application linéaire I Soit E un espace vectoriel de dimension n et BE = {~e1, ...,~en} une base de E . I Soit F un espace vectoriel de dimension m et BF = {~f1, ...,~fm} une base de F . I Soit ϕ : E −→ F une application linéaire. Pour tout i = 1, ...,n, on note a1i, ..,ami les composantes du vecteur ϕ(~ei) dans la base {~f1, ...,~fm} de F : ϕ(~e1) = a11~f1 + ...+am1~fm

Chapitre 1 : Forme linéaire dualité dans les espaces vectoriels de dimension finie E : un espace vectoriel de dimension finie sur K (K=R ou C) I. espace dual Rappel : ●On note Homk(E,F), l’ensemble des applications linéaires E→F. ● Homk(E,F) est un espace vectoriel, si on le muni des opérations suivantes : (à vérifier) - Si f,gЄ Homk(E,F) alors on note f+g l’application E→F x,y→f(x)+g(x) On voit facilement que f+g est lineaire, f+gЄ Homk(E,F). -Si Homk(E

ESTIA 1eAnnée - Mathématiques Cours d’algèbre linéaire Edition 2008 Xavier Dussau, Jean Esterle, Fouad Zarouf et Rachid Zarouf 26 novembre 2008 1 1 I.Harlouchet-en eskuhartzearekin 2 i Introduction Ce cours d’algèbre linéaire se compose de 9 Chapitres. Dans le premier Chapitre on rappelle la définition et on donne sans démonstration les résultats classiques sur les espaces vectoriels et les applications linéaires (théorème de base incomplète, théorème de la dimension, etc. . .)

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Applications linéaires, matrices, déterminants Exercice 1. Soit défini pour tout ( ( ) ) par ( ) 1. Montrer que est linéaire. ( ). 2. Déterminer Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Soit ( ) définie pour tout vecteur ( ) ( 1. Montrer que est une application linéaire. ( ( )). 2. Donner une base de ( ), en déduire 3. Donner une base de ( ). Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3