Arc sinus

Exercice 1 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2x-3 1. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. 2. Etudier la continuité de f en -1 et en 3. 3. Etudier la dérivabilité de f en -1 et en 3. Donner une interprétation graphique des résultats. Exercice 2 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2 si x<1x3-3x+1 si x>1a si x =1 1. Déterminer a pour que f soit continue en 1. 2. Etudier la dérivabilité de f en 1. 3. Etudier les variations

Trigonométrie (on justifiera) page 3 / 6 III Cosinus et sinus d'un nombre réel 1 Définition M ( voir animation ) →→ On dit qu'un repère orthonormé (O ; i , j ) est direct → → lorsque ( i ; j ) = + π [2π] . 2 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point du cercle trigonométrique image du réel x, ● l'abscisse de M est appelée cosinus de x, elle est notée cos(x) ou cos x. ● l'ordonnée de M est appelée sinus de x, elle est notée sin(x) ou sin x. Exercice

Tracer U1(t) -15 30 20 10 ms 2 D’après U1(t) , déterminez : la période : T = 10ms l’amplitude : A = 15V la fréquence : F = 100Hz Relation entre pulsation, fréquence et période La courbe sinusoïdale vient du sinus du triangle réaliser avec le cercle trigonométrique Pour les différents instants t (0,1, 2,...), on reporte la projection du vecteur U sur l'axe des ordonnées en fonction du temps t (croix bleue). Les différents points forment une sinusoïde.

Exercices de Télécommunications GTR 2nde année exercice 1 : Retrouver les identités trigonométriques : sin (a+b) = sin (a-b) = cos a cos b = sin a . sin b = cos a + cos b = cos a - cos b = exercice 2 : Un générateur délivre le signal am(t) : Télécommunications analogiques semaine 1 cos (a+b) = sin a . cos b = sin a + sin b = cos (a-b) = sin b cos a = sin a - sin b = Il faut les connaître. Vous pourrez les retrouver en souvenant de l'équation : e ix = cos( x ) + i sin( x ) a m (t )

; j ) = + π [2π] . 2 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point du cercle trigonométrique image du réel x, ● l'abscisse de M est appelée cosinus de x, elle est notée cos x ou cos(x). ● l'ordonnée de M est appelée sinus de x, elle est notée sin x ou sin(x). Propriété Pour tout réel x, on a x sin x x cos x 1 (voir démonstration 01) - 1 £ cos x £ 1 : - 1 £ sin x £ 1 ; ; Valeurs particulières (voir démonstration 02) x 0 π 6

à chaque élément x de l'intervalle de définition associe la valeur f ′( x ) de la dérivée de f en x. Cette fonction s'appelle la dérivée de f et se note f ′ . 2°/ Exemples. a) La fonction qui à x associe x est dérivable sauf en 0. b) La fonction sinus est dérivable et sa dérivée est la fonction cosinus. Des formules apprises en terminale permettent de calculer des dérivées de fonctions déduites d'autres fonctions dérivables : (u + v ) ′ = u ′ + v ′, (uv ) ′ = u ′v + uv ′ , ( ku) ′ = ku ′ si k est

f ′ ( f −1 ( x ) ) (n ∈ » ) * n n (IV x 4 Arc tangente y (V » IR + y »+ x n Arc tan ( x ) : 4 (1 (* : (* x :  π π − 2 , 2    (1 . 2 ≥ 0 ‫61 = 2 و‬ .y =x 16 = 2 4 . tan ( y ) = x : (2 (a π −2 ∉ » + 4 16 ≠ −2 + ( −2 ) » = 16 » ( ∀∈ » ) : − π Arc tan 〈 Arc tan x〈 (b 2 2 ( ∀x ∈ » ) tan ( Arc tan x ) = x (c   π π   ∀x ∈  − ,   : Arc tan ( tan(x ) ) = x (d  2 2   ( ∀x ∈ » ) : x ≥ 0 (b

ion Démontrer le calcul de cos(a-b) | Définir les propriétés immédiates des logarithmes en base a | Démontrer la formule de la dérivée de arcsin | Trouvez les racine de la dérivée de sin x + cos 2x . | Démontrer la formule de la dérivée de arccos | Faites un tableau du type : | arctg | arccotg | définition | | | schéma | | | dérivée | | | | Démontrer la formule de la dérivée de arctg | Quelle est la formule de tg (a+b) : | Démontrer la formule de la dérivée de arccotg | Ѵ5=

Int´gration e 1 D´finition de l’int´grale e e D´finition 1 F est une primitive de f sur l’intervalle I si F est d´rivable sur I et si e e ∀x ∈ I : F (x) = f (x) Th´or`me 1 Toute fonction d´rivable sur un intervalle I admet des primitives sur I. e e e Th´or`me 2 Si F et G sont deux primitives de f sur l’intervalle I, il existe une constante C telle que e e ∀x ∈ I : F (x) = G (x) + C D´finition 2 Soit f une fonction d´rivable sur [a; b] et soit F une primitive de f sur [a; b] . e

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 18 mars 2011 Enoncés Exercice 8 [ 01963 ] [correction] Pour m, n ∈ N, calculer 2π 1 Intégration Calcul de primitives Exercice 1 [ 01960 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : 2 a) tet dtb) ln t dtc) t dt t t ln Exercice 2 [ 00279 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : a) cos t sin t dtb) tan t dtc) cos3 t dt Im,n = 0 cos(mt) cos(nt) dt Exercice 9 Centrale PC [ 01547 ] [correction] Démontrer que, pour tout