Associativité

Lois de composition internes 1-) On définit dans I la loi ∗ par: a ∗ b = a + b + ab. R a-) Justifier que ∗ est bien une loi de composition interne dans I R. b-) Montrer que cette loi est commutative. Est-elle associative ? c-) Montrer que ∗ admet un élément neutre. d-) Quels sont les éléments inversibles par rapport à cette loi ? e-) Quels sont les éléments réguliers ? f-) Montrer que I + est stable par ∗. En est-il de même de I – ? de I * ? de Z ? R R R Z ––––––––––––––––

Document créé le 22 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 2 Calculs algébriques Sommaire 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Les ensembles de nombres N, Z, Q, R, C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 L’existence admise des ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Propriétés relatives à l’addition dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Propriétés relatives au produit dans C . . .

la suite), on note T une loi interne “abstraite”. Le symbole T est traditionnellement appel´ “truc”. e Pour avoir un int´rˆt pratique, une loi interne doit avoir des propri´t´s suppl´mentaires. Les ee ee e plus courantes sont les suivantes : • Associativit´ : On dit que la loi interne T est associative si e ∀(a, b, c) ∈ E × E × E, (a T b) T c = a T (b T c). • Commutativit´ : On dit que la loi interne T est commutative si e ∀(a, b) ∈ E × E, a T b = b T a. ´ e • El´ment neutre : On dit que e ∈ E est

Polynômes et Fractions rationnelles 1. Généralités Définition Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. On appelle suite presque nulle sur A une suite d’éléments de A dont les termes sont tous égaux à 0A à partir d’un certain rang. Remarque On pose S (A) = {suites de A} et S 0 (A) = {suites presque nulles de A}.  Rappel : addition usuelle des suites et la multiplication usuelle des suites par un scalaire. Soient a,b∈S (A) (ou S 0 (A)) et λ∈A. a = (a0, a1, a2,......., ak,........) = (an)n∈

Universit´ Mohammed V - Agdal e Facult´ des Sciences e D´partement de Math´matiques et Informatique e e Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc .:: Module Math´matiques I : Alg`bre ::. e e Fili`re : e Sciences de Mati`re Physique (SMP) e et Sciences de Mati`re Chimie(SMC) e Chapitre II: Rappels et compl´ments sur les nombres r´els et e e complexes. Par Prof: Jilali Mikram Groupe d’Analyse Num´rique et Optimisation e http://www.fsr.ac.ma/ANO/ Email : mikram@fsr.ac.ma Ann´e : 2005-2006

Université Mohammed V – Agdal Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et sociales RABAT ‫– اآ ال‬ ‫د‬ ‫وا‬ http://www.fsjesr.ac.ma ‫ا‬ ‫ما‬ ‫وا‬ ‫اا ! ط‬ ‫ا‬ ‫آ‬ Filière de Sciences Économiques et de Gestion Semestre Module Matière : : : S3 M 12 (Méthodes Quantitatives III) Algèbre I Syllabus Objectif du cours Introduire l’étudiant à l’algèbre linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et les applications linéaires ainsi que sur le calcul matriciel. Pré-reqcuis recommandé

D EVOIR LIBRE DE M ATHÉMATIQUES-MPSI Corrigé du devoir libre n◦ 5 M.Tarqi ••••••••••• Exercice 1 Exercice 2 1. Prouvons d’abord que cette loi est correctement définie, c’est-à-dire que si x et y appartiennent à S, alors 1 + xy n’est pas nul. Dans le cas contraire, nous aurions xy = −1, d’où |x|.|y| = 1 donc un au moins des nombres |x| et |y| serait ≥ 1, ce qui est impossible, puisque x et y appartiennent tous deux à S et que S est l’ensemble des nombres réels dont la valeur absolue

Dans P ( E ) , l’intersection ∩ et la réunion ∪ sont des L.C.I. 2 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007 Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace vectoriel réel I-1-2 Propriétés a) Associativité, Commutativité, Distributivité i) Définitions • • • La L.C.I. ∗ est dite associative si ∀( a , b, c ) ∈ E 3 : ( a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c ) La L.C.I. ∗ est dite commutative si ∀( a , b) ∈ E 2 : a ∗ b = b ∗ a La L.C.I. ∗ est dite distributive par

SOUS-GROUPES DE (, +) On note (, +) l'ensemble  des entiers relatifs muni de l'addition usuelle. Cet ensemble ainsi constitué est un groupe car la loi + est : · une loi de composition interne (cela signifie qu'elle s'applique à des éléments de  et a pour résultat un élément de  : "(x, y) Î  ´ , x + y Î ) · associative ("(x, y, z) Î  ´  ´ , (x + y) + z = x + (y + z)) · possède un élément neutre 0 ("x Î , x + 0 = 0 + x = x) · et tout élément admet un symétrique ("x Î , $y Î  tel que x

Département de mathématiques L1S2 : physique – chimie Année 2007–2008 Algèbre linéaire Cours magistral no 1 Chapitre 1 – Structure d’espace vectoriel 1 Définition et représentation de Rn Si n ∈ N∗ , on note Rn l’ensemble des suites ordonnées de n nombres réels. Une telle suite est appelée n-uplet1 réel. La suite des nombres réels x1 , x2 ,..., xn est le n-uplet réel noté (x1 , x2 , . . . , xn ). Les nombres x1 , x2 ,..., xn sont appelées les coordonnées du nuplet réel (x1 , x2 , . . . , xn