Associativité

opérateurs C'est l'ordre dans lequel les valeurs doivent être analysées. Ainsi l'expression 4 + 3 * 7 n'est pas lue de gauche à droite et ne retourne pas 49 mais 25. Voici le tableau des priorités des opérateurs par ordre croissant de priorité : Associativité Opérateurs gauche , gauche or gauche xor gauche and droite print gauche = += -= *= /= .= %= &= |= ^= ~= <<=>>= gauche ?: gauche || gauche && gauche | gauche ^ gauche & non-associative == != === !== non-associative < <=

contraire, une intuition des nombres (qui s’affine avec l’entraînement) ainsi qu’une part d’initiative et de choix. Il opère sur des nombres et permet d’enraciner l’ordre de grandeur, le sens des opérations et leurs propriétés (commutativité, associativité, distributivité). L’expression de « calcul mental » signifie qu’entre l’énoncé du problème et l’énoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée (technique opératoire usuelle). Cela n’implique pas qu’aucun support écrit ne puisse

pondérée » des points (Ai , αi ). • Ses coordonnées se calculent en faisant la moyenne pondérée de celles des points (Ai , αi ). −− −→ −− −→ −→ − • On peut effectuer la réduction vectorielle α1 MA1 + · · · + αn MAn = (α1 + · · · + αn )MG. Théorème (associativité). Soit S = {(A1 , α1 ), · · · , (An , αn )} un système de points pondérés vérifiant α1 + · · · + αn = 0. Le barycentre de ce système peut être obtenu en partitionnant S par des sous-ensembles de poids non nuls, en déterminant leurs barycentres (barycentres

r´esument avec le produit tordu tel qu’il est donn´e. → 2.16 Lemme. Les op´erations d’addition, soustraction et multiplication (non tordue) sur R v´erifient, chaque fois que les formules sont d´efinies, les r`egles usuelles du calcul : commutativit´e, associativit´e, distributivit´e. → 2.17 Lemme. Le produit tordu est commutatif et associatif ; il v´erifie la distributivit´e sur R+ : ∀a, b, c ∈ R+ : a (b + c) = (a b) + (a c) . 3. Applications mesurables 3.1 D´ efinition. Soit (Ω, F) et (X, G) deux espaces

toujours se ramener au calcul propositionnel ; voici une liste (non exhaustive) de formules o` u A, B, C, . . . sont des ensembles : Formulaire A ∩ B = B ∩ A et A ∪ B = B ∪ A (commutativit´e) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C et A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (associativit´e) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributivit´e) CE (CE A) = A (A ⊂ B) ⇒ (CE B ⊂ CE A) CE (A ∪ B) = CE A ∩ CE B et CE (A ∩ B) = CE A ∪ CE B (loi de Morgan) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) et A × (B ∪ C) =

toujours se ramener au calcul propositionnel ; voici une liste (non exhaustive) de formules o` A, B, C, . . . sont des ensembles : u Formulaire A ∩ B = B ∩ A et A ∪ B = B ∪ A (commutativit´) e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C et A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (associativit´) e A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributivit´) e (CE A) = A CE (A ⊂ B) ⇒ (CE B ⊂ CE A) CE (A ∪ B) = CE A ∩ CE B et CE (A ∩ B) = CE A ∪ CE B (loi de Morgan) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) et A × (B ∪ C)

: if ($a == b$ or $c) L’expression est donc équivalente à : if (($a == $b) or $c) Tableau 19.5 : Associativité des opérateurs Associativité Opérateurs Gauche , Gauche or Gauche xor Gauche and Droite print Gauche = += −= *= /= .= %= &= |= ^= ~= <<=>>= Gauche ? : Gauche || Gauche && 656 LE GUIDE COMPLET PHP Chapitre 19 Tableau 19.5 : Associativité des opérateurs Associativité Opérateurs Gauche | Gauche ^ Gauche & Non associatif == != === Non associatif < <= > >=

somme l l e S = [sij ] ∈ C m×n est d´ finie par l e sij = mij + nij ∀{i; j}. L’on note S = A + B. Les propri´ t´ s de l’addition matricielle sont les suivantes : ee • • • • • • • A + B = B + A (commutativit´ ) ; e A + (B + C) = (A + B) + C (associativit´ ) ; e s(A + B) = sA + sB, ∀s ∈ C ; l ∃C | A + C = B et C est not´ e C = A − B (diff´ rence) ; e e A + 0 = A (´ l´ ment neutre) ; ee (A + B)T = AT + B T (transposition de la somme) ; (A + B) = A + B (transposition-conjugaison de la somme). Exemple

index´e par un tel ensemble I. Il s’agit d’une br`ve extension de la notion de suite sommable. L’´tude e e e syst´matique des ensembles d´nombrables n’est pas un objectif du programme, et tout ´nonc´ g´n´ral sur les e e e e e e familles sommables (associativit´ par paquets. . .) est hors programme. e D´finition d’un ensemble I d´nombrable : il existe une e e Si P est une partie infinie de N, il existe bijection d’une partie de N sur I. Si I est infini, alors il une bijection strictement croissante et une

vecteur par un scalaire vérifie les propriétés suivantes: • Distributivité par rapport à l'addition des vecteurs : → → → → α ( U + V ) = α U +α V ; → → → • Distributivité par rapport à l'addition des scalaires : (α +β) U = α U +β U ; → → • Associativité : α(β U ) = ( αβ ) U ; IV. SYSTEME DE COORDONNEES CARTESIENNES IV.1. Système cartésien orthonormé bidimensionnel Ce système est utilisé pour repérer un point dans un plan. Il est composé de deux axes orthogonaux du → y → plan, Ox et Oy, munis