Associativité

(x)=g f (x) Remarque 6. Lorsqu’il s’agit de composer des applications, il est bon d’utiliser des sch´mas d’applications pour e e e e v´rifier la validit´ des compos´es. Fig. 1.2 – Compos´e de deux applications e Th´or`me 1.1 : e e ( Associativit´ ) de la composition ( e ) E− F − G− H → → → f g h 1. Pour trois applications on a h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f . 2. Si f : E → F , on a f ◦ idE = f et idF ◦f = f D´finition 1.10 : Applications injectives, surjectives, bijectives e Soit

est bon d’utiliser des sch´mas d’applications pour e v´rifier la validit´ des compos´es. e e e g◦f ¥   ¦ § ¡ ¨ © ¢ f E g G £ ¤ F Fig. 1.2 – Compos´e de deux applications e Th´or`me 1.1 : e e ( Associativit´ ) de la composition ( e ) 1. Pour trois applications f g h E− F − G− H → → → on a h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f . 2. Si f : E → F , on a f ◦ idE = f et idF ◦f = f D´finition 1.10 : Applications injectives, surjectives, bijectives

est bon d’utiliser des sch´mas d’applications pour e v´rifier la validit´ des compos´es. e e e g◦f ¥   ¦ § ¡ ¨ © ¢ f E g G £ ¤ F Fig. 1.2 – Compos´e de deux applications e Th´or`me 1.1 : e e ( Associativit´ ) de la composition ( e ) 1. Pour trois applications f g h E− F − G− H → → → on a h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f . 2. Si f : E → F , on a f ◦ idE = f et idF ◦f = f D´finition 1.10 : Applications injectives, surjectives, bijectives

A = 275 et B = 425. 49 1 000 × (5,74 + 7,80 + 7,50) = 21 040 La masse totale s’élève à 21 040 g soit environ 21 kg. 64 Différentes techniques de calcul réfléchi se côtoient dans cet exercice : utilisation des règles de distributivité, associativité et commutativité de la multiplication. a. 47 × 60 = 47 × 30 × 2 = 2 820 b. 470 × 30 = 10 × 47 × 30 = 14 100 c. 470 × 60 = 10 × 47 × 30 × 2 = 28 200 d. 47 × 31 = 47 × 30 + 47 = 1 457 e. 48 × 30 = 47 × 30 + 30 = 1 440 50 593 : 25 + 3 – 2

de la multiplication dans C, ainsi que la distributivité de la multiplication sur l’addition. Autrement dit, pour tout z, tout z et tout z dans C, on a : z + z = z + z et zz = z z (commutativité) z + (z + z ) = (z + z ) + z et z(z z ) = (zz )z (associativité) z(z + z ) = zz + zz (distributivité de la multiplication sur l’addition) On remarquera que, comme pour la multiplication dans R, le symbole de multiplication × n’apparaît pas nécessairement. Définition 1.1.3 (Somme) Soient z et z des nombres complexes

mesurable. On étend facilement la définition de la tribu produit pour un nombre fini d’espaces mesurables (X1 , M1 ), . . . , (Xn , Mn ) en posant M1 ⊗ M2 ⊗ · · · ⊗ Mn = σ (A1 × A2 × · · · × An | Ai ∈ Mi , ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}) et on a la propriété d’"associativité" suivante : Donc A1 × A2 = (A1 × X2 ) ∩ (X1 × A2 ) ∈ M donc M1 ⊗ M2 ⊂ M. 55 ⋆ 4.1. PRODUIT D’ESPACES MESURABLES Lemme 4.1. (M1 ⊗ M2 ) ⊗ M3 = M1 ⊗ (M2 ⊗ M3 ) = M1 ⊗ M2 ⊗ M3 Démonstration. Laissée en exercice Rappel : Soient (X1 , T1

f 1 (t) ∗ f 2 (t) = −∞ +∞ f 1 (t) f 2 (t − t) d t = −∞ f 1 (t − t) f 2 (t) d t Corrélation de deux fonctions 67 A Propriétés du produit de convolution commutativité : f 1 (t) ∗ f 2 (t) = f 2 (t) ∗ f 1 (t) B associativité : f 1 (t) ∗ [ f 2 (t) ∗ f 3 (t)] = [ f 1 (t) ∗ f 2 (t)] ∗ f 3 (t) +∞ −∞ f (t) d (t − t) dt = f (t) K L M N O +∞ x (t) y * (t − t) dt = x (t) ∗ y * (−t) P −∞ J Corrélation de deux fonctions Pour comparer deux signaux

2 (t) est : +∞ +∞ f 1 (t) ∗ f 2 (t) = −∞ f 1 (t) f 2 (t − t) d t = −∞ f 1 (t − t) f 2 (t) d t Corrélation de deux fonctions 67 Propriétés du produit de convolution commutativité : f 1 (t) ∗ f 2 (t) = f 2 (t) ∗ f 1 (t) associativité : f 1 (t) ∗ [ f 2 (t) ∗ f 3 (t)] = [ f 1 (t) ∗ f 2 (t)] ∗ f 3 (t) distributivité par rapport à l’addition : f 1 (t) ∗ [ f 2 (t) + f 3 (t)] = [ f 1 (t) ∗ f 2 (t)] + [ f 1 (t) ∗ f 3 (t)] +∞ A B C L’impulsion de Dirac est l’élément neutre :

e e e Masson. 91 Index Abscisse, 67, 81 Addition, 18 Alg`bre, 37 e Algorithme du pivot de Gauss, 13 Altern´, 49 e Angle non orient´, 69, 82 e orient´, 68 e Anti-lin´aire, 48 e Antisym´trique, 50 e Arc param´tr´, 76 e e d´rivable, 76 e Associativit´, 35 e Axe de coordonn´es, 68, 81 e des abscisses, 68, 81 des cotes, 81 des ordonn´es, 68, 81 e Base, 17, 23 canonique, 23 orthonormale, 30 Bonhomme d’Amp`re, 81 e Cercle, 74 Chasles, 67 Coefficient, 8, 31 Cofacteur, 61 Colin´aire, 17, 22 e Combinaison

processus d'expansion ou par l'intégrée let. L'évaluation utilise des entiers de longueur fixe sans vérification de possible débordement de capacité, mais avec un contrôle de la division par 0 qui renvoie une erreur. Les opérateurs, leur ordre et leur associativité, sont pareil que dans le langage C, voir Chapitre 3, L'environnement du Bash. 2.2.6. Alias Les alias permettent à une chaîne d'être substituée par un mot quand il est utilisé comme le premier mot d'une commande simple. Le Shell maintient