Associativité

2 (t) est : +∞ +∞ f 1 (t) ∗ f 2 (t) = −∞ f 1 (t) f 2 (t − t) d t = −∞ f 1 (t − t) f 2 (t) d t Corrélation de deux fonctions 67 Propriétés du produit de convolution commutativité : f 1 (t) ∗ f 2 (t) = f 2 (t) ∗ f 1 (t) associativité : f 1 (t) ∗ [ f 2 (t) ∗ f 3 (t)] = [ f 1 (t) ∗ f 2 (t)] ∗ f 3 (t) distributivité par rapport à l’addition : f 1 (t) ∗ [ f 2 (t) + f 3 (t)] = [ f 1 (t) ∗ f 2 (t)] + [ f 1 (t) ∗ f 3 (t)] +∞ A B C L’impulsion de Dirac est l’élément neutre :

faire correspondre un ´l´ment de E not´ x ∗ y. tout couple (x,y) de E ee e Exemple 2.1.1 i) E = IR (x,y) −→ x + y ; ii) E = F(IR,IR) (f,g) −→ f ◦ g. D´finition 2.1.2 On dit que (E,∗) est un groupe si e (G1) ∀x,y,z ∈ E (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (Associativit´) ; e (G2) ∃e ∈ E/ ∀x ∈ E e ∗ x = x ∗ e = x (El´ment neutre) ; e (G3) ∀x ∈ E, ∃x ∈ E/ x ∗ x = x ∗ x = e (Tout ´l´ment est sym´trisable). ee e On dit que le groupe est commutatif (ou ab´lien) si en plus des propri´t´s (G1), (G2) et (G3) e ee on

propriétés usuelles Propriétés IDEN NIORO GUIDE PEDAGOGIQUE CM1 Opérations concernées Exemples 77 La commutativité Addition ; Multiplication Addition ; Multiplication La multiplication est distributive par rapport à l’addition Associativité Distributivité a+b=b+a axb=bxa (a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c) a x (b + c) = (a x b) + (a x c) B3. Les quatre opérations • Rappel de quelques techniques performantes Opérations Techniques Commentaires 1 La

d’un produit associatif, ce qui permet de d´finir par r´cure e rence le produit de convolution d’un nombre arbitraire n de fonctions dont n − 1 sont continues ` support compact dans RN et la derni`re localement int´grable. a e e Proposition 1.3.9 (Associativit´ de la convolution) Soient deux fonctions e f, g ∈ Cc (RN ) et h ∈ L1 (RN ). Alors loc f (g h) = (f g) h . D´monstration. Tout d’abord, chaque membre de cette ´galit´ a bien un sens. e e e En effet, au membre de gauche, g h ∈ C(RN ) d’apr`s la

divisibilité – Choix de l’opération : multiplication, division – Sens de la relation d’égalité (équation), sens de la relation d’équivalence – Relations entre les opérations – Propriété des opérations : commutativité – Propriété des opérations : associativité – Propriété des opérations : distributivité – Priorité des opérations (suite d’opérations sur les nombres naturels) • Nombres décimaux – Sens des opérations : addition et soustraction – Sens des opérations : multiplication et division • Fractions

signal d’entrée e(t) et enfin l’intégration sur la variable t. Les filtres, qui sont définis comme des systèmes de transmission linéaires, continus et stationnaires, sont des systèmes de convolution. b) Propriétés • commutativité : x ∗ y = y ∗ x • associativité : x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z • distributivité par rapport à l’addition : x ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ z • élément neutre (pic de Dirac) : x ∗ d = d ∗ x = x c) Théorème de Plancherel La relation très importante entre la transformée de Fourier et le

multiplication par un scalaire, ´l´ment d’un corps commutatif ee quelconque K (· : K × V → V). L’ensemble est ferm´ sous ces op´rations et celles-ci e e ont les propri´t´s suivantes : ee 1. x + y = y + x, ∀x, y ∈ V (commutativit´) ; e ∀x, y, z ∈ V (associativit´) ; e 2. (x + y) + z = x + (y + z), 3. Il existe un ´l´ment de V, not´ 0 tel que x + 0 = x, ∀x ∈ V. Cet ´l´ment 0 est ee e ee appel´ le neutre de la somme dans V ; e 4. ∀x ∈ V, il existe un ´l´ment de V, not´ −x tel que x + (−x) = 0. Cet ´l´ment

circuit est en haute impédance – en = 0, alors s = e le circuit fonctionne normalement 1 • Logique combinatoire 1.2 Les opérateurs logiques ■ Propriétés des opérateurs ■ Propriétés usuelles Tableau P.14. Propriétés des opérateurs + et . a+b=b+a associativité a + (b + c) = (a + b) + c a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c distributivité a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c a + b ⋅ c = (a + b)(a + c) idempotence a+a=a a⋅a=a élément neutre a+0=a a⋅1=a élément absorbant a+1=1 a⋅0=0 La dualité des opérateurs

signal d’entrée e(t) et enfin l’intégration sur la variable t. Les filtres, qui sont définis comme des systèmes de transmission linéaires, continus et stationnaires, sont des systèmes de convolution. b) Propriétés • commutativité : x ∗ y = y ∗ x • associativité : x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z • distributivité par rapport à l’addition : x ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ z • élément neutre (pic de Dirac) : x ∗ d = d ∗ x = x c) Théorème de Plancherel La relation très importante entre la transformée de Fourier et le

vecteurs coplanaires. Géométrie vectorielle Calcul vectoriel dans l’espace. Barycentre de quelques points pondérés dans On utilisera la notion de barycentre pour établir La notion de barycentre, utile en physique et le plan et l’espace. Associativité du barycentre. des alignements de points, des points de en statistique, illustre l’efficacité du calcul concours de droites. vectoriel. On évitera toute technicité. Produit scalaire dans le plan; définition, propriétés. Propriétés de bilinéarité