Associativité

An équivaut à (SELECT A1,…, An FROM T1,…, Tm WHERE ) UNION (SELECT A1,…, An FROM T’1,…, T’p WHERE ’) Bases de données - Y 44 II.3.4 Optimisation des requêtes Preuves d’équivalences entre expressions à l’aide de: • Propriétés classiques (associativité, commutativité, …) • Définitions des opérations • Propriétés telles que : 1. t  r || s  t(R)  r et t(S)  s 2. t  X (r)  t’  r (t’(X) = t) 3. t  r  X  R (t(X)  X (r)) Bases de données - Y 45 

l’addition En considérant trois matrices, A ∈ R m*n , B ∈ R m*n et C ∈ R m*n , on a les trois propriétés suivantes : A+B=B+A Commutativité (commutative law). C( A + B) = CA + CB Distributivité (distributive law). A + ( B + C) = ( A + B ) + C Associativité (associative law). Exemples : l’addition et la soustraction matricielle 1 4 0  5 2 6 Si A ∈ R 2*3 et B ∈ R 2*3 tel que A =  , B=   , alors :  2 7 3 0 1 1  1 + 5 4 + 2 0 + 6  6 6 6 A+B=  =  et 2 + 0 7 + 1 3 + 1  2 8 4 

bi i = 1, 2, . . . , m j = 1, 2, . . . , n z = j=1 n n m max j=1 n contraintes : j=1 xj ≥ 0 Dual : m cj xj m contraintes dual :cj ≤ i=1 aij yi ≤ min i=1 m ( j=1 i=1 m n aij yi )xj aij xj )yi commutativit´, associativit´ e e n bi y i = j = 1, 2, . . . , n i = 1, 2, . . . , m 43/56 ( i=1 j=1 m contraintes primal : j=1 aij xj ≤ bi objectif dual contraintes : i=1 aij yi ≥ cj yi ≥ 0 ≤ = w i=1 bi yi 44/56 Introduction M´thode

bases de données (SQL, ...). • « 1- » dans quelques langages ne disposant pas de fonction adaptée (Batch, ...) (puisque 1-0=1 et 1-1=0) On privilégiera dans la suite la notation . On obtient alors et Propriétés Propriétés des opérateurs Associativité Comme avec les opérations habituelles, certaines parenthèses sont inutiles: Commutativité L'ordre est sans importance: Distributivité Comme avec les opérations habituelles, il est possible de distribuer : Attention : comportement

Soit événements de Ω On dit que ces événements forment une partition de l’ensemble des possibles si et seulement pour tout i différents de j et 1. 2 Les propriétés de ces opérations Union Intersection Commutativité Idempotence Associativité Distribution (factorisation) 1. 3 La traduction booléenne de quelques événements classiques Soit trois événements : A, B et C. 1) A seul se produit On ne peut pas écrire seulement A car cela correspondrait à . On peut faire Simplification

. 13 E Implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III Propriétés des connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 A Commutativité et associativité de ∨ et ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 B Double distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 C Élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’une seule et même plateforme. Catia V5 = CAO + IAO + FAO + GPAO + GPAO… D:\_W Steph\CAO\0 Introduction à la CAO.doc 4/4 Evolution des modeleurs Modeleurs volumiques Modeleur solide Sous contraintes Basé sur les fonctions Paramétrique Associativité bi-direct. Base de données unique. Vol, Masse, Inertie, Maillage Processus de conception (intégration des contraintes fonctionnelles) Connaissances « métier » Rapidité de mise à jour Cohérence des modèles Catia V5 • Logiciel développé par Dassault

Q ⇒ P V V F V P ⇔ Q V F F V Exemple : P ⇔ P est toujours vraie. 1.3.5. Théorème On appelle théorème une proposition logique toujours vraie. 1.3.6. Propriétés Négation ¬(¬ P) ⇔ P ¬ ( P ∨ Q) ⇔ ( ¬ P ∧ ¬ Q) ¬ ( P ∧ Q) ⇔ ( ¬ P ∨ ¬ Q) Associativité ( P ∨ Q) ∨ R ⇔ (P ∨ (Q ∨ R)) ( P ∧ Q) ∧ R ⇔ (P ∧ (Q ∧ R)) non (non P) ⇔ P non (P ou Q) ⇔ (non P et non Q) non ( P et Q) ⇔ (non P ou non Q) (P ou Q) ou R ⇔ (P ou (Q ou R) (P et Q) et R ⇔ (P et (Q et R) Cours 1 AC 3/7 A 2008 MT18 Distributivité

A A 1 A. A  0 18 Lois fondamentales de l’Algèbre de Boole •L’opérateur ET ( A.B).C  A.( B.C )  A.B.C Associativité A.B  B. A Commutativité A. A  A Idempotence A.1  A Elément neutre A.0  0 Elément absorbant 19 Lois fondamentales de l’Algèbre de Boole • L’opérateur OU ( A  B)  C  A  ( B  C )  A  B  C Associativité A B  B  A Commutativité A A  A Idempotence A0  A Elément neutre A 1  1 Elément absorbant

affectés de coefficients que l’on précisera. Mais, L est aussi le milieu de [DG], donc L = bar {(D, 1), (G, 1)} On vient de montrer que K est le milieu de [AL], donc K = bar {(A, 2), (L, 2)} Une équation de (AKG) est donc x − z = 0. 4. Par associativité du barycentre, on a donc K= bar {(A, 2), (D, 1), (G, 1)}. E XERCICE 4 Enseignement obligatoire → → − − Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v . Soit A le point d’affixe a = 1 + i 3 et B le point d’affixe b = 1 − 3 +