Axiomes de Peano

appelées axiomes, supposées vraies à priori (et que l’on ne cherche donc pas à démontrer) ; ⋄ on définit ensuite la notion de démonstration (en décidant par exemple de ce qu’est une implication, une équivalence...) ; ⋄ on décide enfin de qualifier de vraie toute affirmation obtenue en fin de démonstration et on appelle « théorème » une telle affirmation (vraie). A partir des axiomes, on obtient donc des théorèmes qui viennent petit à petit enrichir la théorie mathématique. En raison des bases (les axiomes) non

suivante : ⋄ on part d’un petit nombre d’affirmations, appelées axiomes, supposées vraies à priori (et que l’on ne cherche donc pas à démontrer) ; ⋄ on définit ensuite la notion de démonstration (en décidant par exemple de ce qu’est une implication, une équivalence...) ; ⋄ on décide enfin de qualifier de vraie toute affirmation obtenue en fin de démonstration et on appelle « théorème » une telle affirmation (vraie). A partir des axiomes, on obtient donc des théorèmes qui viennent petit à petit enrichir

entiers, pourquoi par exemple 3 + 5 = 5 + 3. Pour commencer, nous nous donnons quelques affirmations, prises comme v´rit´s premi`res e e e en arithm´tique, appel´es « axiomes ». Voici les axiomes, sous la pr´sentation de Peano(1) (si e e e ce n’est que Peano faisait d´buter l’ensemble des entiers naturels ` 1). e a Axiomatique de Peano. — AP1 AP2 AP3 AP4 AP5 z´ro (0) est un entier naturel ; e tout entier naturel a un unique successeur parmi les entiers naturels ; z´ro n’est le successeur d’aucun entier

3. Renoncer à l’interprétation : positivisme et béhaviorisme 32 Conclusion : l’hypothèse du rêve 34 Annexes 35 Résumé 35 Compléments de logique 37 Le principe du tiers exclu 37 L’axiomatisation de l’arithmétique par Peano 38 Petits jeux logiques et mathématiques 38 Compléments mathématiques 38 Théories et astuces mathématiques 38 Paradoxes et calculs mathématiques liés à l’infini 40 Notions de physique 41 Quelques vérités scientifiques

mathématique et raisonnement 1.1 Éléments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 Connecteurs logiques . . Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raisonnements primaires Démonstrations . . . . . Axiomes Raisonnements 1.3.1 1.3.2 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

raisonnement 1.1 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 8 9 10 10 11 13 17 17 17 19 20 22 22 23 23 24 25 25 26 Éléments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 Axiomes Raisonnements 1.3.1 1.3.2 1.4 Quelques théorèmes d’arithmétique Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connecteurs logiques . . Quantificateurs .

d’objectivité comme dans leur type d’organisation normative (Kant : les normes juridiques créent des obligations, les normes éthiques des fins qui sont des obligations). Elle a été, non sans paradoxe, suivie en cela par le positivisme juridique, dont un des axiomes de base (cf. Hart) est la séparation du droit et de la morale ; une des convictions qui nourrit cette axiomatique étant que les normes éthiques étant devenues forcément particulières dans une société complexe (il n’y a pas un mais des systèmes éthiques

jugements ou des raisonnements démonstratifs, c’est-à-dire nécessaires. Apophantique : Du grec apophantikos, qui affirme, de apophainein, faire connaître, montrer. Qui déclare par une assertion pouvant être soit affirmative, soit négative. Axiome: Au sens large, un axiome est une proposition qu’on ne démontre pas, car on la considère comme évidente. L’axiome désigne un principe évident par soi, appelé « notion commune » car reçu immédiatement comme vrai par tous. Par exemple, « le tout est plus grand que

canonique et s la surjection canonique de E sur E/Rf . – Partitionner E = i∈I ωi où (ωi )i∈I est la famille canoniquement associée à E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble

la base de chaque ligne. e a 1.2.3 Une ligne qui remplit un carr´ e Fig. 1.9 – Giusseppe Peano (1858-1932) est le fondateur du symbolisme logique. Fig. 1.10 – David Hilbert (1862-1943) est connu par ses espaces du mˆme nom. e Ensuite, ` la fin du XIXe si`cle, Peano [21] et Hilbert [11] construisirent presque a e simultan´ment une courbe qui remplit un carr´. Dans le premier cas, Peano a propos´ e e e une s´rie de courbes semblables. Sa construction la plus c´l`bre consiste tout d’abord