Axiomes des probabilités

´ Universite de Strasbourg ´ ´ Departement de mathematiques ´ Probabilites-Statistiques ´ BMC annee 2011-2012 Pr´paration aux concours du SCAV. e 1 1.1 D´nombrement et notations e Op´rations sur les ensembles e Soit A et B deux ensembles. Nous notons A∪B la r´union de ces ensembles, A∩B leur intersection, e A × B le produit cart´sien, c’est ` dire {(x, y) | x ∈ A et y ∈ B}. La diff´rence ensembliste de A et B e a e se note A − B ou A\B. Il s’agit de {x ∈ A | x ∈ B}. Finalement P(A)

les critères d’évaluation des loteries Thème 4 : le critère d’espérance d’utilité Thème 5 : introduction au choix de portefeuille Définition • Une somme est risquée si cette somme est une variable aléatoire dont on connaît la distribution de probabilité. • Problème : quelle valeur donner à cette somme ? Thème 3 : les critères d’évaluation des loteries • • • • • • • Exemple intuitif : Soit Y0 = 80 et i = 5% Y1 = 150 Pr = 50% ou Y1 = 50 Pr = 50% U = C03/5.C11/5 V(Y1)= 100 ? On aurait alors C0*=131

pense. Il parle ici de son point de vue pour tenter de comprendre les phnomnes de la nature. Lcrivain sattaque la base axiomatique de la physique thorique et remet en cause son immunit. Un axiome dsigne une vrit indmontrable qui doit tre admise. Pour Euclide et certains philosophes grecs de lAntiquit, un axiome tait une affirmation quils considraient comme vidente et qui navait nul besoin de preuve. Einstein pose de nouveau une question rhtorique laquelle seule sa rponse peut convenir. Il tente de

entreprend en 1930 et 1931 un voyage d’études à Göttingen à Munich et à Paris. En 1933, paraît en allemand son manuel des Fondements de la théorie des probabilités , dans lequel il présente son axiomatisation (un procédé qui consiste à organiser celle-ci en la fondant sur des axiomes, et à en déduire rigoureusement des théorèmes ) du calcul des probabilités, et une manière adaptée à traiter les processus stochastiques ( de manière aléatoire ). La même année, il devient directeur de l'Institut de mathématiques

Thérèse Phan Jean-Pierre Rowenczyk Exercices et problèmes de statistique et probabilités 2e édition Illustration de couverture : digitalvision © Dunod, Paris, 2012 ISBN 978-2-10-056298-5 Table des matières Avertissement Chapitre 1 Probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 1 1 1 2 3 4 7 9 9 10 Rappel de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

scientifiques. Par...) visant à développer ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne. Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature purement intellectuelle, basées sur des axiomes non soumis à l'expérience ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique (Les mathématiques désignent la science du vrai et du faux en général. C'est-à-dire qu'elle ne s'attache pas à dire ce qui est vrai ou faux dans l'absolu mais

d’établir la vérité. Elle constitue un modèle dans la recherche de la vérité. Mais il reste à éclaircir un point du fonctionnement de la démonstration : si celle-ci permet d’établir de façon certaine la vérité à partir d’axiomes, ces axiomes peuvent t’ils être démontrés ? Un axiome est une proposition dont aucun esprit sain ne peut douter, c’est synonyme de premier principe. Hormis ses premiers principes chaque terme introduit doit être rigoureusement défini mais chaque proposition avancée doit être démontrée

faudrait trouver à partir de l’énoncé, des connaissances et des méthodes utilisées. Si on considère toutes les méthodes de vérification il faut voir qu’en réalité elles n’affirment pas le résultat de manière absolue mais augmentent seulement la probabilité que ce résultat est juste. Cela s’explique par le fait qu’on puisse toujours trouver un scénario, souvent très spéciel et donc improbable, où la vérification semble affirmer un résultat mais qu’en fait cela n’est pas le cas. Une des méthodes les

faudrait trouver à partir de l’énoncé, des connaissances et des méthodes utilisées. Si on considère toutes les méthodes de vérification il faut voir qu’en réalité elles n’affirment pas le résultat de manière absolue mais augmentent seulement la probabilité que ce résultat est juste. Cela s’explique par le fait qu’on puisse toujours trouver un scénario, souvent très spéciel et donc improbable, où la vérification semble affirmer un résultat mais qu’en fait cela n’est pas le cas. Une des méthodes les

l’on va sombrer. Ex : les parents qui battent leurs enfants, ces mêmes enfants ne vont pas obligatoirement plus tard battre leurs enfants. 2. Définition de la psychologie La psychologie est la science probabiliste (elle se base sur des probabilités cela veut dire qu’on a des chances de se tromper) qui étudie les réactions d’un ou plusieurs sujets face à leur environnement (personne seule ou dans un groupe). Ainsi que leur réaction qui sont régies par une activité mentale consciente ou non