Borne supérieure et borne inférieure

minorant, de majorant, de borne inférieure et de borne supérieure. On note Q+ [resp. Q+,∗ ] le sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par : ∀x ∈ X, x ≤ M, ∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup (X) . Il n’est pas difficile de montrer l’unicité d’une telle borne supérieure quand elle existe. Exercice

SUITES PLAN I : Corps des réels 1) Propriétés 2) Borne supérieure et inférieure a) Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires

Pour calculer l'aire du domaine D, on l'encadre avec des rectangles. Un première série de rectangles (en grisés sur la figure 2), situés sous la courbe, de sorte que la somme de leurs aires soit inférieure à A. D'autres, plus grands (en blanc sur la figure 2) de sorte que la somme de leurs aires soit supérieure à A. D y 1 O Cƒ O 1 5 2 5 3 5 4 5 1 Largeur des rectangles : 1 5 TS DM1 : quadrature de la parabole Page 1 £ £ £ £ D = {M(x, y) ∈ P tels que 0

Fonction Ncd  Lower : borne inf ,Upper : borne sup ,∈ℝ + ,∈ℝ Probabilité des événements  X  x  et  X  x  Dans le menu STAT, .F5 : DIST puis .F1 : NORM Sélectionner .F2 : Ncd et EXE . Ex : Data : Variable, Lower : –1E99, Uper : 28, σ : 5, µ : 20 puis EXE N.B. : –1E99 et 1E99 représentent respectivement moins et plus l'infini. Si vous souhaitez afficher, par exemple, la zone située à droite de la borne inférieure (inf), spécifiez sup=1E99 pour la borne supérieure. Ex : Data : Variable, Lower

∀x1 ∈ R, ∀y ∈ R et ∀y1 ∈ R, si x ≤ x1 et y ≤ y1 alors x + y ≤ x1 + y1 ii) La relation d’ordre ≤ est compatible avec la multiplication ∗ càd ∀x ∈ R, ∀y ∈ R et ∀z ∈ R+ ( z ≥ 0) alors x ∗ y > 0. 4) Toute partie de R non vide et majorée admet une borne supérieure. La relation d’ordre total permet de définir la fonction valeur absolue dans R. Définition : La valeur absolue dans IR est une application ½ || : IR → IR+ x 7→ |x| ½ x si x ≥ 0 et on a pour tout x ∈ R, |x| = −x si x ≤ 0 Propriétés : 4 1) |a|

axiomes répartis sur quatre groupes : le premier groupes correspond aux axiomes de l’ addition, dans le deuxième - les axiomes de la multiplication, dans le troisième - les axiomes de la relation d’ ordre et dans le quatrième - l’ axiome de la borne supérieure. La relation d’ ordre . La relation d’ ordre est totale dans R ; ce qui signi…e que est est est est ré‡exive : 8x 2 R; x x antisymétrique : 8x 2 R; 8y 2 R, si x y et y x alors x = y transitive : 8x 2 R; 8y 2 R; 8z 2 R; si x y et y z alors x z

normé P . On se propose de démontrer l’assertion suivante : pour tout r > 0 il existe ε1 , l’équation différentielle (E4) admette une unique solution x ε1 > 0 tel que, pour tout ε appartenant à Br ; on la notera xε . On note αr (resp. βr ) la borne supérieure de l’ensemble des nombres |F (v, s)| (resp. | ∂F (v, s)|) ∂v où v ∈ [−r, r] et s ∈ [0, T ]. 6.a) Déterminer un réel ε0 > 0 tel que, pour tout ε 6.b) Déterminer un réel ε1 contraction de Br . 6.c) Conclure. 2 ε0 tel que, pour tout ε ε0 , on ait

c Christophe Caignaert – Lycée Colbert – 59200 Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr 9-2 Séries entières Démonstration : I = r, r ∈ R+ , |an | rn converge est un intervalle de R+ contenant 0, soit il est borné et admet alors une borne supérieure, soit il n’est pas borné et R = +∞. +∞ Exemple : Cherchons le rayon de convergence de n=0 zn Soit r 0, on sait que r ne converge que si r < 1 et sup [0, 1[ = 1. On a donc R = 1. n On reviendra rapidement sur les moyens de

pour des raisons d’ordre historique. Il permet l’obtention de chemins de longueur minimale ou maximale, quels que soient les signes des longueurs lij . Son principe : On marque tout sommet x j d’une marque  j qui correspond à une borne supérieure (inférieure) pour la distance minimale (maximale) de x1 à x j . On diminue (augmente) progressivement ces marques, à raison d’une par étape, et en suivant la procédure décrite dans l’organigramme ci-dessous. Lorsqu’une telle diminution (augmentation)

3.2 Borne supérieure, inférieure • Définitions La borne supérieure de A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des majorants de A. La borne inférieure de A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des minorants de A. • Caractérisation M est la borne supérieure de A si, et seulement si, on a, à la fois : ∀x ∈ A x M , c'est-à-dire que M est un majorant ; ∀ε > 0 ∃ x ∈ A M − ε < x, c'est-à-dire que M − ε n'est pas un majorant. m est la borne inférieure de A si, et