Combinaison linéaire

désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X2. * 2. Z1 1 est une combinaison linéaire des variables du tableau X1 Z1 2 est une combinaison linéaire des variables du tableau X2 Les valeurs des projecteurs P1 et P2 : Rappel d'algèbre linéaire * Définition : Le projecteur orthogonal sur l'espace E engendré par les colonnes de X est l'application linéaire qui fait correspondre à u sa projection orthogonale sur E. Ce projecteur s'écrit:

Trouver une base q-orthogonale de R4 et donner la matrice de q sur cette base. Exercice 11: Soit a ∈ R et q la forme quadratique définie sur par : q(x, y, z) = x2 + (1 + a)y 2 + (1 + a + a2 )z 2 + 2xy − 2ayz. 1: Décomposer q en combinaison linéaire de de carrés de formes linéaires indépendantes. 2: Donner, suivant les valeurs de a, le rang et la signature de q. 3: Pour quelles valeurs de a q est une norme euclidienne ? Z 1 Exercice 12: Vérifier que q(P ) = 0 P P est une forme quadratique sur R2

d’équations linéaires : résolution par la méthode du pivot de Gauss et représentation matricielle La méthode du pivot consiste à garder une équation intacte, qu’on appelle le pivot, et à éliminer une inconnue dans le reste du système en remplaçant chacune des autres équations par une combinaison linéaire d’elle-même (avec un coefficient non nul) et du pivot. Si le reste du système contient plusieurs équations, l’opération doit être réitérée. EXERCICE 1 — Les équations suivantes sont-elles linéaires ? [1]

Calculer l’aire A(k) de l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x,y) vérifient : k ≤ x ≤ 0 et 0 ≤ y ≤ f (x) où k désigne un nombre réel négatif. 2. Calculer A(–3) avec une valeur approchée à 10−3 près. Calculer une intégrale, combinaison linéaire de deux intégrales Méthode On écrit I = aJ + bK où J et K sont des intégrales que l’on sait calculer. Exercice 7 On pose I1 = I1 + I = I 2 ∫ π 2 0 cos(x) dx, I = 1 + 2 sin(x) ∫ π 2 0 sin(2x) dx 1 + 2 sin(x) a)

par un scalaire, produit scalaire) et de connaître les propriétés de ces opérations. 4) Appliquer la règle de Chasles. 5) Déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires. 6) Déterminer si deux vecteurs sont parallèles. 7) Faire des combinaisons linéaires de vecteurs. 8) Déterminer si des vecteurs sont linéairement dépendants ou indépendants. 9) Déterminer si des vecteurs forment une base du plan. Vecteurs algébriques 10) Effectuer les opérations sur les vecteurs (addition et multiplication

fondamentale   w  w On considère trois vecteurs u , v et  avec v et  non colinéaires.   w Les vecteurs u , v et  sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels x et y tels   w que u =x vy .   w Le vecteur u est une combinaison linéaire des vecteurs v et  . Conséquence D C A Soient A, B, C et D, 4 points tels que 3 quelconques d'entre eux ne sont pas alignés. Les points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs  ,  et  sont coplanaires, donc s'il

(respectivement une colonne) ne comporte que des zéros alors le déterminant est nul Si des lignes (respectivement des colonnes) sont dépendantes alors le déterminant est nul Le déterminant ne change pas si on ajoute à une ligne (à une colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (des autres colonnes) Det (aIn)=an Det(A) = n det(A) Exercice Calculer 0 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 0 1 1 Pr S.Houfaidi Master Génie Logistique Exercices 1) Calculer les déterminants suivants

De la même façon que dans le chapitre consacré à la géométrie plane 2, ce chapitre a pour vocations de vous familiariser avec le calcul algébrique et de vous donner des représentations pour les objets étudiés dans les chapitres 23 et 24 d’algèbre linéaire. Là encore, on pourra passer dans une première lecture les démonstrations qui ne sont pas marquées par un ♥ et se focaliser sur les autres parties. 3.1 Préambule Dans tout ce chapitre on notera E l’ensemble des points de l’espace et V l’ensemble

Module : ALG 3. Déterminants Dans toute la suite, K désigne un corps commutatif (souvent R ou C) et E un K e.v de dimension n: I/ Formes n Linéaires Alternées Dé…nition 1 : Soit f une application de E n dans K. On dit que f est une forme n linéaire alternée sur E si f véri…e les conditions suivantes : i/ f linéaire par rapport à chaque variable, en d’autres termes : 8i 2 [[1; n]] ; 8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 0 n E ; 8xi 2 E; 8 ; 2 K on a : 0 0 f x1 ; ::; xi 1 ; xi + xi ; xi+1 ;

coordonnées de leur point d'intersection. Exercice 4 : ( 4 points ) 1. Résoudre le système d'équations suivant, par la méthode de substitution: y =7 {6x +3 x−y =−11 (1) (2) 2. Résoudre le système d'équations suivant, par la méthode de combinaison linéaire y =7 {6x +3 x−y =−11 (1) (2) Exercice 5 : ( 3 points ) L'année dernière, le foyer du lycée avait acheté 16 bandes dessinées et 7 DVD pour un coût total de 175,50 €. Cette année, 4 bandes dessinées et 6 DVD ont coûté au foyer 97,00 €. Calculer