Combinatoire

EXERCICES SUR LE DÉNOMBREMENT ET LA COMBINATOIRE Exercice 1 On dispose de quatre boules de couleurs différentes : une rouge, une bleue, une jaune et une verte. Nous avons la possibilité : • de ne choisir aucune boule • d'en choisir une, deux, trois ou quatre. 1) Combien y a-t-il de choix distincts en tout ? 2) Reprendre le problème avec cinq boules, six boules, n boules. Exercice 2 On peut choisir de mettre ou non une croix dans chacune des cases du carré ci−contre. Combien y a-t-il de façons

plus simples et ont pour but de donner quelque entraînement au lecteur. Ils sont empruntés aux ouvrages suivants : 1. Roseaux, « Exercices et Problèmes Résolus de Recherche opérationnelle », Tome 3, Masson 1985. 2. M. Sakarovitch, « Optimisation Combinatoire, Graphes et Programmation Linéaires », Hermann, 1984. Exemple 1 : Problème de Production 1. Une usine fabrique deux produits P1 et P2. Chacun de ces produits demande, pour son usinage, des heures de fabrication unitaires sur les machines (ou

des simulations MC des syst`mes de particules en interaction. e En arrivant aux ann´es 1980, les statisticiens et les informaticiens d´veloppent e e la m´thode de MC pour r´soudre des probl`mes en diff´rents domaine, tel que e e e e l’optimisation combinatoire, probabilit´, analyse de statistique g´n´tique. . . . . . e e e Dans les ann´es 1990, la m´thode de MC commence ` jouer un rˆle tr`s ime e a o e portant dans la computation en science biologique, elle est utilis´e pour l’analyse e 1 g´n´alogique

Analyse combinatoire Math´matiques G´n´rales B e e e Universit´ de Gen`ve e e Sylvain Sardy 6 mars 2008 1 Le but de l’analyse combinatoire (techniques de d´nombrement) est d’ape prendre ` compter le nombre d’´l´ments d’un ensemble fini de grande cardinalit´. a ee e Notation : la cardinalit´ d’un ensemble Ω, not´e card(Ω) = |Ω| = #Ω, est le e e nombre d’´l´ments contenus dans l’ensemble Ω. ee Analyse combinatoire 2 1. Principe de multiplication Permet de compter le nombre de r´sultats

des couleurs, de même nous n’avons aucune idée de la manière dont Dieu infiniment sage perçoit et comprend toutes choses." Isaac Newton. Table des matières Introduction 1 1 Analyse combinatoire 5 1.1 Rappels et Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Eléments d’analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Espace de Probabilité 17 2.1 Espace probabilisable . .

restaurant et du pharmacien concurrents 14 Modélisation du problème 15 Mise en équation sur quelques exemples 15 Problème de transport 15 Ordonnancement à contraintes disjonctives 16 Prise en compte de puissance 17 Programmation linéaire combinatoire (entiers) 17 Algorithme du B&B 17 Illustration de l’algorithme 18 Exemple de modélisation : Localisation d’usines 18 Processus aléatoire : chaînes de Markov 19 Généralités 19 Classification des états 20 Comportement asymptotique et distribution

......................................... 3 Organisation du cours ....................................................................................................................................................... 3 Partie 1 : Tours de combinatoire ......................................................................................................... 4 Ces talents de roi ★★ ................................................................................................................

sont incompatibles donc on peut utiliser 3) Un au moins se produit : Comme les événements sont compatibles on utilise le théorème 6 4) Deux au moins se produisent : Comme sont compatibles, on utilise le théorème 6. Rappel sur la combinatoire Deux problèmes : - Nombre de façon différente de tirer p boules distinctes dans une urne qui en contient n - Nombre de façon différente de placer p boules dans n cases. Avec remise Sans remise Avec ordre Arrangement Sans ordre Combinaisons

simple 3.2.1 Définitions 3.2.2 Exemple 3.2.3 Formulation potentiels-tâches Exercices et applications. Références bibliographiques BERGE C. : « Graphes », Gauthier-Villars (1983) CHARON I., GERMA A. et HURDY O. : «Méthodes d’optimisation combinatoire », MASSON (1996) FAURE R. : « Précis de Recherche Opérationnelle », BORDAS (1979) GONDRON M. et MINOUX M. : « Graphes et Algorithmes », Eyrolles (1985) GOUJET C. et NICOLAS C. : « Mathématiques appliquées : Probabilités – Initiation à la recherche

(en fait l’angle entre les deux est inférieur à 45°) ; on dit que l’ajustement affine est justifié. si | r | r > -0,7 D’ D r < 0,7 65.4¡ D’ Jean-Michel BERNABOTTO 6 Cours de statistiques d’IUT Chapitre 2 PROBABILITES ET ANALYSE COMBINATOIRE A. Notion d’expérience aléatoire 1. Définition Une expérience ayant un nombre fini d’issues possibles est appelé expérience aléatoire s’il est impossible de savoir à l’avance quelle en sera l’issue. L’ensemble de toutes les issues possibles