Coordonnées polaires

repère orthonormé O x yz, de vecteurs unitaires ex , e y , ez . 1.1.1 Coordonnées cartésiennes −−→ r = O M = x ex + ye y + zez z z M (x, y, z) Si M se déplace, on a : −−→ −→ d O M = dM = dx ex + dye y + dzez −−→2 O M = x 2 + y2 + z2 ez ey O y y ex x H x −−→ (d O M)2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 1.1.2 Coordonnées cylindriques Vecteurs unitaires : er , eθ , ez ; On définit M par sa coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan x Oy. z −−→ x = r cos θ O M = r er + zez

fonction f (x) est bien une densité de probabilité. Elle est positive et de plus : Z +1 x2 1 p e 2 dx = 1 2 1 R +1 R +1 1 2 2 En e¤et, considérons l’intégrale double 1 1 e 2 (x +y ) dxdy. Par ailleurs, en utilisant le changement des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires, on a : Z +1 Z +1 Z 2 Z +1 1 1 2 2 +y 2 x ( ) e 2 d e 2 d =2 dxdy = 1 1 0 De plus, en utilisant Fubini, on a : Z Z +1 Z +1 1 x2 +y 2 ) ( 2 e dxdy = 1 1 En posant I = 1.1.2 R +1 1 e 1 2 x 2 +1 e 0 1 2 x 2 Z dx 1

spirale logarithmique Le mathématicien suisse Jacques Bernouilli, qui a découvert le nombre epar son calcul des intérêts composés, était fasciné par les applications de ce nombre au tracé des courbes polaires. Il s’intéressait particulièrement aux spirales logarithmiques, définies en coordonnées polaires par une équation du type . Ces spirales portent le nom de « logarithmiques » car si on cherche à obtenir l’angle de la courbe tracée selon le rayon r à tracer, on effectue le calcul suivant .

Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il existe donc une infinité de cercles pour un centre quelconque, dans chacun des plans de l'espace. • Une corde est un segment de droite dont les extrémités se trouvent sur le cercle. [pic] • Un arc est une portion de cercle délimitée par deux points. [pic] • Une

Chapitre 10 : panel d’exercices de DS d’années précédentes Exercice 1 : 1. Donner la valeur en degré correspondant à un angle mesurant radians 2. Donner la valeur approchée (à 10-3 près) en radian correspondant à un angle mesurant 42° 3. Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C et D, respectivement associés aux réels suivants :  ; –5  ;  et – . 4. Donner deux mesures d’angle, en radian, associées au point E. Exercice 2 : Soit x Î [– ; 0] tel que cos(x) = . 1. Calculer

vers son maître ce qui signifie mathématiquement que v = −ver 2. Vitesse du maître dans le référentiel terrestre : v0 = −v0 ex soit v0 = −v0 cos θer + v0 sin θeθ − 3. Exprimons la vitesse → du chien, par rapport au sol, en fonction de dans v la base polaire liée à M . −→ − − − → −→ − dOM dOP dP M v= = + dt dt dt RT RT RT dr cos θ = −d 2 tan dθ sin θ 1 + cos2 θ 2 tan ˙ ⇔ v = v0 + rer + rθeθ ˙ ˙ v = (r − v0 cos θ)er + (rθ + v0 sin θ)eθ ˙ 4. Equations différentielles en r(t) et θ(t). D’une

Partie 4 : Evolution temporelle des systèmes mécaniques Systèmes mécaniques oscillants : le pendule simple Objectifs Etudier un système oscillant mécanique Définir un pendule simple Pendule simple Un pendule est constitué: - d'un solide de masse m de petite dimension. - d'un fil inextensible de longueur L et de masse négligeable devant m. Lorsque le pendule est écarté de sa position d’équilibre, d’un angle (, et lâché sans vitesse initiale il oscille. Une oscillation est le mouvement

Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d’un solide I Rappels : ➢ Référentiel : Le mouvement d’un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence est appelé référentiel. Si ce corps est la terre, on dit que l’on se place dans le référentiel terrestre (pour nous dans la plupart des cas). ➢ Solide : Objet qui ne subit pas de déformation au cours du mouvement étudié. ➢ Mouvement d’un corps et trajectoire : Décrire

Classe de 1èreS Physique Chapitre 2 Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d’un solide I Rappels : Référentiel : Le mouvement d’un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence est appelé référentiel. Si ce corps est la terre, on dit que l’on se place dans le référentiel terrestre (pour nous dans la plupart des cas). Solide : Objet qui ne subit pas de déformation au cours du mouvement étudié. Mouvement d’un corps et trajectoire

1-  INTRODUCTION La connaissance des caractéristiques mécaniques déduites de l’essai de traction peut être insuffisante, puisque des ruptures peuvent être obtenues en dessous de la limite élastique. Un des moyens pour caractériser la fragilisation d’un métal sous l’action d’un choc est l’essai de résilience. 2-DÉFINITION Les paramètres de ténacité (Si l'énergie à fournir pour produire une fracture dans une éprouvette est importante, on dira que le matériau est « tenace ».) déterminés par