Coordonnées polaires

Résumé physique Chapitre 6 Dans ce chapitre, l’on y retrouve le sujet des systèmes de référence. Dans ce chapitre, il est traité de l’utilité d’un système de référence, des systèmes de références Galiléens et des systèmes de coordonnées. 1 : La description du mouvement d’un mobile est fortement liée à la position de l’observateur. On dit que le mouvement est relatif au système de référence par rapport auquel on l’étudie. Un système de référence est constitué. De repère dans le temps et dans

| III ' Repérage polaire Tout point du plan peut être repéré par un couple de réel [pic] tels que [pic] et [pic] On dit que [pic] est le rayon polaire et le réel [pic] est un angle polaire. Les coordonnées du point polaire se notent entre crochets : [pic] On considère un point [pic] de coordonnées polaires [pic] Les coordonnées cartésiennes de [pic] sont [pic] et [pic] Si un point [pic] a pour coordonnées cartésiennes [pic] alors[pic] Pour avoir un angle polaire, on utilise [pic] et

non nul de coordonnées cartésiennes (a ; b) et de coordonnées polaires r et α 1. Donner les relations liant a, b, r et α . → → 2. v est le vecteur directement orthogonal à u . → a. Donner la définition de v . b. En déduire ses coordonnées polaires en fonction de r et α. c. En déduire ses coordonnées cartésiennes en fonction de a et b. EXERCICE bonus. Lieu de points. Dans un repère orthonormé positif : 1 ; α) pour α ∈ [0 ; π/2] Déterminer l’ensemble des points de coordonnées polaires ( cos(α) +

Représentations d’un vecteur Coordonnées cartésiennes : x est l’abscisse, y est l’ordonnée V = (x, y) Coordonnées polaires : V = (V, θ) Somme vectorielle V1 : (x1, y1) ou (V1, θ1) V2 : (x2, y2) ou (V2, θ2) V : (x, y) ou (V, θ) On place V1 et Fraction et produit un élement au dénominateur passe au numérateur lorsqu’on le change de coté de l’égalité. a= b c Et inversement. c a=b x V est le module, θ est l’argument Passage des coord. cartésiennes aux coord. polaires ...V2 bout à bout

aux objets du repérage des objets du calage ortho ou polaire du calage sur la grille La barre d’outils dessiner La commande ligne Coordonnées cartésiennes relatives 1 choisir le premier point avec la souris. 2 tapez @ 3 entrer au clavier la position en x et y du deuxième point par rapport au premier. X et y sont séparés par une virgule @50,20 : 50 correspond à x et 20 à y La barre d’outils dessiner La commande ligne Coordonnées polaires relatives 1 choisir le premier point avec la souris

orthonormal indirect lorsque i et  sont unitaires et i j j  i j que   ,  =− [ 2 ] . 2 Définition 4 : Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique c associé à x. On appelle cosinus et sinus de x (noté cos x et sin x) les coordonnées de M dans le repère (O ; I , J) :  = cos x    sin x  OM OI OJ c Exemples et remarque : ● En notant que I 1,0 , J 0,1 , I '  – 1,0 et J ' 0, – 1 sont les   points de c respectivement associés à 0, ,  et – , on a 2 2    

x (t ) y (t ) , et on dit alors que « l’arc paramétré est défini en coordonnées r cos θ , et on dit alors que « l’arc paramétré est défini en r sin θ cartésiennes », ou M ( r ,θ ) coordonnées polaires ». L’ensemble des points M obtenus constitue le graphe de γ . En traçant dans le plan la courbe correspondante, on obtient la courbe représentative du graphe de γ . Nous la noterons Γ . Arcs paramétrés en coordonnées cartésiennes Domaine de définition Les variables x et y étant des fonctions

------------------------------------------------- EXERCICE 4. 4 points Questions de cours. est un vecteur non nul de coordonnées cartésiennes (a ; b) et de coordonnées polaires r et 1. Donner les relations liant a, b, r et  . 2. est le vecteur directement orthogonal à . a. Donner la définition de . b. En déduire ses coordonnées polaires en fonction de r et . c. En déduire ses coordonnées cartésiennes en fonction de a et b. ------------------------------------------------- EXERCICE bonus.

ci-dessus pour les dérivées sont applicables aux différentielles à condition de remplacer les « d(·)/dt » par des « d(·) ». I.. Systèmes de coordonnées Plaçons-nous dans l’espace usuel à trois dimensions et choisissons un point O et une base orthonormée directe B = (ux , u y , uz ). I..1. Coordonnées cartésiennes (Oz) uz M ux uy Les coordonnées cartésiennes d’un point M dans le repère orthonormé direct (O, ux , u y , uz ) sont les composantes du vecteur po−→ − sition OM = x ux + y u

direct (O; u , v ) . On note P ce plan et P l’ensemble de ses vecteurs. 2/- Lorsqu’au nombre complexe z on associe l’unique point MP de coordonnées (Re(z), Im(z))   dans le repère (O; u , v ) , on dit que z est l’affixe du point M dans ce repère et on peut la noter zM.  3/- Lorsqu’au nombre complexe z on associe l’unique vecteur w P de coordonnées (Re(z), Im(z))     dans la base (u , v ) , on dit que z est l’affixe du vecteur w P dans cette base et on peut la noter z w . 1 Exemples