Corps pur

fonction de et la partie réelle X et la partie imaginaire Y de Z. 2) En déduire l’ensemble ℰ des points M du plan complexe, d’affixe tels que Z est réel. 3) En déduire l’ensemble ℱ des points M du plan complexe, d’affixe tels que Z est imaginaire pur. . On pose Comment utiliser les différentes formes d’un nombre complexe ? Forme algébrique Que faut-il faire ? vérifier que a et b sont réels. Forme trigonométrique ( ) vérifier que r est un réel positif. Forme exponentielle

trigonométrique. π π 2 π π (b) On admet que cos − + i sin − = cos − + i sin − . 8 8 4 4 En déduire les affixes des deux antécédents de A par f . 3. Déterminer l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z tels que l’affixe z du point M soit un nombre imaginaire pur. 4. Dans cette question, on souhaite déterminer l’ensemble Γ3 des points M distincts de Ω pour lesquels le triangle ΩM M est rectangle isocèle direct en Ω. z −1 = i. z −1 (b) En déduire que M est un point de Γ3 si et seulement si z 2 − iz − 1 + i =

réels. ➤ a est appelé partie réelle de z et est noté Re(z), ➤ b est appelé partie imaginaire de z et est noté Im(z). Remarque 2 Nombres particuliers : • si b = 0, on a z = a, z est donc réel, • si a = 0, on a z = ib, on dit que z est un imaginaire pur. Exemple 1 Dans chacun des exemples suivants, on donne la partie réelle et la partie imaginaire : ➔ z = 2 + 3i a=2 b=3 a = −1 b = 12 ➔ z = −1 + 12 i ➔ z = −i a=0 b = −1 ➔ z=π a=π b=0 ➔ z = 4i − 31 a = − 13 b = 4. Propriété 1 Deux nombres complexes

XVII. Les nombres complexes. 1. Introduction Progressivement, nous avons agrandi les ensembles de nombres en passant de N à Z puis à Q et enfin à R. Ces agrandissements ont donné la possibilité de résoudre de plus en plus d'équations. L'équation 2x + 5 = 3 n'a pas de solution dans N mais en a une dans Z : x = -1 L'équation 3x + 5 = 3 n'a pas de solution dans Z mais en a une dans Q : x =  23 L'équation x2 - 3 = 0 n'a pas de solution dans Q mais en a deux dans R : x =  3 Cependant nous avons rencontré

´ Cours de Mathematiques ´ Nombres complexes, trigonometrie Sommaire Nombres complexes, trigonom´trie e Sommaire I Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . I.1 D´finition de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e I.2 Notation cart´sienne . . . . . . . . . . . . . . . . e I.3 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5 Fonctions ` valeurs complexes . . . . . . . . . . . a II Argument, exponentielle

LES NOMBRES COMPLEXES 1 ) DEFINITION - REPRESENTATION GEOMETRIQUE Définition : On appelle corps des nombres complexes, et on note C un ensemble contenant IR tel que : I 2 • Il existe dans C un élément noté i tel que i = - 1. I • Tout élément de C s'écrit sous la forme a + b i , où a et b sont des réels. I • C est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent l'addition et la multiplication de I IR, et qui suivent les mêmes règles de calcul. Nombres complexes particuliers : Soit un

sont des figures indépendantes et, parce que l'objet étant s'est ici déterminé comme vie, ils sont des consciences enfoncées dans l'être de la vie. (…) En d'autres termes, ces consciences ne se sont pas encore présentées réciproquement chacun comme pur être-pour-soi, c'est-à-dire comme conscience de soi. Chacun est bien certaine de soi-même, mais non de l'autre ; et ainsi sa propre certitude de soi n'a encore aucune vérité ; car sa vérité consisterait seulement en ce que son propre être-pour-soi

Introduction : Définition diamant : Pierre précieuse faite de carbone pur cristallisé. L’origine du mot diamant est reliée à sa grande dureté. Du grec « adamas », qui signifie indomptable, le diamant est la pierre la plus dure et semble donc impérissable. La couleur d’un diamant : naturelle ou artificielle Les diamants naturellement colorés se retrouvent dans la nature, de toutes les couleurs. Chaque diamant est unique en son genre. Les conditions physiques requises pour créer ces pierres

réels. ® a est appelé partie réelle de z et est noté Re(z), ® b est appelé partie imaginaire de z et est noté Im(z). Remarque 2 Nombres particuliers : • si b = 0, on a z = a, z est donc réel, • si a = 0, on a z = ib, on dit que z est un imaginaire pur. Exemple 1 Dans chacun des exemples suivants, on donne la partie réelle et la partie imaginaire :   z = 2 + 3i a=2 b=3 a = −1 b= 1   z = −1 + 1 i 2 2   z = −i a=0 b = −1   z=π a=π b=0 1   z = 4i − 3 a = −1 b = 4. 3 Propriété 1 Deux nombres complexes

zA = 2e 2 2 6 Soit ’ un argument de zB . cos’ = – b6 6 i /3 6 i5/6 6 6 2 6 i5 6 6 c - (zA) + (zB) = (2e ) + (2e ) = 2 e + 2 e = 2 – 2 = 0 2) zc = zA + zB. i 3 2e z z    – i /2 a ) zOA /zOB = A = i5/6 = e = - i  A est imaginaire pur  OA  OB  (OA)  (OB) . zB 2e zB       b) zc = zA + zB  OC = OA + OB  OACB est un parallélogramme et comme (OA)  (OB) et OA = OB  OACB est un carré.         7        c) (u, OC ) = (u, OA) + (OA, OC ) + 2k