Cosinus

1S4 Devoir maison n°2 de Mathématiques (à rendre le lundi 2 novembre ; aucun retard ne sera toléré !) La fonction cosinus : On considère la fonction f définie par f ( x ) = cos x et on appelle c sa courbe   représentative dans un repère orthogonal O ; i ; j . ( Unités : 1cm pour π 4 en abscisses et 1cm pour ) 1 en ordonnée. 4 1°) a) Donner l’ensemble de définition de la fonction f qu’on notera D f . b) ∀x ∈ D f , exprimer f ( x + 2π ) , puis f ( − x ) en fonction de f ( x ) . c) En s’aidant

0 ;  ; ; - 0.5pt 1°) Placer les points A, B, C et D sur le cercle . 1.5pt 2°) Donner une mesure en radian de chaque angle a) ();OA) ; );OB) ) b) ();OC) ; );OD) ) c) ();OB) ; );OD)) d) ( );BO) ; );DO) ) 1pt 3°) Donner les sinus et cosinus de ();OA) ; );OB) ) et ();OB) ; );OD)) Exercice 3 : Equations (3 points) 1.5pt 1°) Résoudre l’équation sin x = - ;2)) dans . 1.5pt 2°) Résoudre l’équation cos (2x)= - dans [  ; ]. Exercice 4 : Polaire et cartésien (4 points)

Définition A1 Projection orthogonale C K Soit K le projeté orthogonal de B sur (AC) H le projeté orthogonal de C sur (AB) → → u . v = AB . AC = AB . AH = AK . AC → → → → → → A H B Définition A2 Normes et cosinus → → C → → → u . v = AB . AC = II AB II × II AC II × cos( AB , AC ) = AB × AC × cos(BAC) A B → → → Définition A3 normes II u II = u . u = u  → 2 → → →2 Définition A4 Dans un repère orthonormal

Cos(Â) = Cos  2 ×    Â Â  = 2 Cos²   – 1 2 2     2  = 2×   –1  5 8 = −1 5 3 = 5 2 ( Car Cos(2x) = 2Cos²(x) – 1 ) Conclusion : Sin(Â) = 4 3 et Cos(Â) = 5 5 Vous appliquez la même méthode pour calculer le cosinus et le sinus de l’angle B. On doit trouver Sin( B ) = 12 5 et Cos( B ) = 13 13 Pour finir : cos( C ) = Cos( π – (A + B )) ( La somme des angles d’un triangle vaut π rad ) = - Cos ( A + B ) car pour tout nombre x, Cos( π – x ) = - Cos(x) Même

2(4500)(5000) cos 148° Ϸ 9133,03 m/s ΂ ΃ m ∠ CAB ϭ arc sin 5000 sin 148° Ϸ 16,86° 9133,03 © 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée 122° 148° D C Les angles ACB, ACD et BCD forment un angle plein. v◊R 5000 m/s Par la loi des cosinus. Par la loi des sinus. • Calculer la force de friction fv. F Le coefficient k vaut 25 ϫ sin 32° Ϸ 13,25. Puisque fvF ϭ –kv√ , on en déduit que : – fvF est colinéaire à v√ (deux vecteurs dont l’un correspond au produit de l’autre par un scalaire sont

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 1 FONCTIONS COSINUS ET SINUS I. Rappels 1) Définitions : Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; i ! ; j !( ) et orienté dans le sens direct, on considère un cercle trigonométrique de centre O. Pour tout nombre réel x, considérons le point N de la droite orientée d’abscisse x. À ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique. On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires

sont le sinus, le cosinus et la tangente. La cotangente, la sécante et la cosécante ne sont que les fonctions inverses des 3 fonctions de base :      - la cotangente est l'inverse de la tangente     - la cosécante est l'inverse du sinus     - la sécante est l'inverse du cosinus et ce, aussi bien en version circulaire qu'hyperbolique comme indiqué dans le tableau suivant : Fonctions circulaires Fonctions hyperbolques Sachant que le rapport du sinus sur le cosinus est égal à la tangente

Chapitre 6 FONCTIONS HYPERBOLIQUES 6.1 D´ efinitions On d´efinit trois fonctions sur R par ex + e−x (cosinus hyperbolique), 2 ex − e−x sh x = (sinus hyperbolique) et 2 sh x (tangente hyperbolique). th x = ch x ch x = Remarques : • On utilise parfois coth x = 1 · th x • Le terme hyperbolique se justifie g´eom´etriquement. En effet, en posant : quand t d´ecrit R, M de coordonn´ees (x, y) d´ecrit une branche d’hyperbole. 6.2 Trigonom´ etrie hyperbolique Dans toute la suite, a et b d´esigneront

Chapitre 7 Chapitre 7. Produit scalaire et nombres complexes Activités et applications z1 1. Produit scalaire et trigonométrie π Activité. La valeur du cosinus de 2 i 1. Les coordonnées des vecteurs EOA et EOB sont respectivement 2. 3. 4. 5. ΂ 122 ; 122 ΃ et ΂ 132 ; 12 ΃. ΂ π2 – x΃ + cos ΂ π2 + x΃ = cos π π π π cos x + sin sin x + cos cos x – sin sin x = 0. 2 2 2 2 –1 π Application 1 Le module est donné par la formule : |z| = 9a2 + b2 = 0(– 2)2 + (2)2 = 18. La mise en facteur du module

g´n´rale de y + y = 0 (dans F(R,R)), en e e R → R d´duire que V = Vect(f0 ) avec f0 : e x → cos x − π 4 Exercice 4 1. (a) Rappeler le d´veloppement limit´ ` tout ordre de la fonction exponentielle en 0. e ea (b) Rappeler la d´finition de la fonction cosinus hyperbolique puis en donner le d´veloppement limit´ ` e e e a l’ordre 2n en 0 pour tout entier n. Pr´ciser en particulier le d´veloppement ` l’ordre 4. e e a 2. Soit f : R∗ → R d´finie par ∀x = 0, f (x) = (ch x)1/x . e (a) D´terminer le d´veloppement