Décomposition en produit de facteurs premiers

1 Exercices sur les équations du premier degré Application des règles 1 et 2 Résoudre dans R les équations suivantes en essayant d’appliquer une méthode systématique : 15 8(4 − 3x) + 1 = 53 − 3(x − 5) 16 13x + 2 − (x − 3) = x − 5 − 3(x + 12) + 4x 17 5(3x − 1) − (1 − 2x) = 3(5x − 2) 18 (x + 2)(x + 1) = (x + 4)(x − 5) 1 3x + 4 = 2x + 9 2 2x + 3 = 3x − 5 3 5x − 1 = 2x + 4 Résoudre avec des fractions 4 3x + 1 = 7x + 5 Résoudre dans R les équations suivantes en supprimant d’abord

Troisième Exercice 19 ◮1. Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants, et préciser quand il s’agit d’un nombre premier : 173 ; 1 900 ; 600 ; 650 ; 344 ; ◮2. En déduire le PGCD et le PPCM des nombres 600 et 1 900. ◮3. Quel est le plus petit nombre par lequel il faut multiplier 344 pour obtenir un carré parfait ? 600 irréductible. ◮4. Rendre la fraction 1 900 37 7 + . ◮5. Calculer 600 1 900 Exercice 20 ◮1. Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants, et préciser

indépendantes) Décomposer 750 en produit de facteurs premiers et, à l’aide d’un arbre, déterminer les diviseurs dans Soient a et b deux entiers et n = × a) Quel est le nombre de diviseurs dans 2a 5b . de n en fonction de a et b. b) Montrer que n est le carré d’un entier si et seulement si il admet un nombre impair de diviseurs. de ce nombre. Exercice 6 (3 points) Vrai ou faux. Justifier. Si n est un entier naturel compris entre 1 et 7, alors si n est pair, n + 1 est premier. Si n est un entier naturel

14 = 19 6 6 6 6 24 24 24 Multiplication Pour tous nombres entiers a, b, c et d (avec b, d = 0), on a : Exemples : 2 • 5× 2 = 5 × 3 = 3 1 a b c ×d = a×c b×d 5×2 1×3 = 10 3 5 •4×7= 3 5×7 4×3 = • Simplifiez avant d’effectuer les produits : 35 12 33 15 × 25 11 = 15×33 11×25 = 5×3×11×3 11×5×5 = 9 5 Inverse, division Soient a, b, c et d quatre nombres entiers (avec b, c, d = 0) : c • L’inverse de la fraction d est d c •Diviser par une fraction revient à multiplier

−1 • 56 − 87 = 20 • 65 + 37 = 56 + 14 6 = 6 24 − 24 = 24 Multiplication Pour tous nombres entiers a, b, c et d (avec b, d = 0), on a : Exemples : • 5 × 23 = 51 × 32 = 5×2 1×3 = 10 3 • 45 × 73 = 5×7 4×3 = • Simplifiez avant d’effectuer les produits : 35 12 33 15 × 25 11 = 15×33 11×25 = a b 5×3×11×3 11×5×5 Inverse, division Soient a, b, c et d quatre nombres entiers (avec b, c, d = 0) : • L’inverse de la fraction dc est dc •Diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de

TD DE TS SPECIALITE : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES Exercice 1 (exercice ouvert) Pour quelles valeurs de l'entier naturel n la fraction A = n2 + n est-elle irréductible? 2n + 1 Exercice 1 Soit n un entier naturel. n 1. Trouver, suivant les valeurs de n, les restes de la division euclidienne de 5 par 13 (on pourra considérer tous les cas particuliers pour n ≤ 4, puis généraliser) . 5 2007 2. En déduire que 2007 – 5 est divisible par 13, puis que 2007 – 8 est divisible par

EXERCICE 2. Suites 1. a) Pour n = 3, le résultat arrondi au dix-millième est 1,834 . b) Cet algorithme calcule et affiche le terme de rang n de la suite donnée dans l’énoncé. c) Il est raisonnable de conjecturer que la suite (un) est croissante et qu’elle converge vers 2. 2. a) On procède par récurrence sur la rang n. - pour n = 0 , u0 = 1 vérifie bien 0 < u0 ≤ 2 - supposons que l’on a vérifié pour un certain entier n : 0 < un ≤ 2 on multiplie chaque membre par 2 > 0 : 0 < 2un ≤ 4 on utilise

Éditions Didier 2010 . Chapitre 3 - Améliorer ses techniques – Corrigés Transformer Exercice 6 a. est développée. b. n'est ni développée (il reste un produit à transformer) ni factorisée (ce n'est pas un produit mais une somme). c. d. est factorisée. est factorisée : elle est écrite sous forme d'un produit car . Math'x seconde © Éditions Didier 2010 Chapitre 3 - Améliorer ses techniques – Corrigés Transformer Exercice 7 a. b. c. Il s'agit d'une forme d

Cours d’arithm´ etique Premi` ere partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi D´ecembre 2004 Ce document est la premi`ere partie d’un cours d’arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´eparant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´ equences Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´ es Polynˆ omes ` a coefficients entiers Fractions

divisible par 9. Parmi les entiers compris entre 0 et 21, seuls 0, 9 et 18 sont divisibles par 9. Donc r est égal à 0, à 9, ou à 18. On en déduit 3 valeurs possibles pour n : 693 , 702 , 711 Exercice n°6 : Le nombre des centaines est un nombre premier inférieur à 20. C'est donc 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ou 19. Mais n est un nombre à 4 chiffres, donc le nombre des centaines s'écrit avec 2 chiffres. Il ne peut donc être égal qu'à 11, 13, 17, ou 19. Le reste de la division par 100 d'un nombre qui