Dérivabilité

Lebesgue par toute autre mesure positive.... Il est en revanche important de noter que la fonction notée g qui majore ne dépend pas de x. On a besoin d'une telle fonction car ce théorème est une conséquence facile du théorème de convergence dominée. Dérivabilité d'une intégrale à paramètre Théorème : Soit f:I×J->R une fonction continue par morceaux telle que 1. Pour tout x de I, la fonction est intégrable. 2. Pour tout t de J, la fonction est dérivable, sa dérivée étant notée . 3. Il existe

0, +∞[ par : f (x) = 1. (b) En déduire le sens de variations de f sur ] 0, +∞[. 2. ln t dt 2 1 t 1 1 ln x (b) Montrer que pour tout x > 1, 1− − 2 x x (a) Pour x > 0, calculer x um f (x) f (x) = f 1 x f (x) − f (0) 3/3 (a) Justifier la dérivabilité de f sur ] 0, +∞[ et calculer f ′ (x). (c) Prouver que f admet une limite réelle ℓ en +∞. Encadrer cette limite ℓ. 3. (a) Soit g la fonction définie sur ] 0, +∞[ par g (x) = f (x) − f (c) Démontrer que f admet une limite finie en zéro. Préciser

2 Remarque 1 La continuité d’une fonction en un point est une condition nécessaire d’existence pour la dérivabilité de cette fonction en ce point. 2.3 Remarque 2 La dérivabilité d’une fonction en un point entraine obligatoirement la continuité de cette fonction en ce point. 2.4 Exemple Soit la fonction f de R dans R définie par f(x) = x2 − 3x + 1. * Etudions la dérivabilité de cette fonction en x0 = 4 f(x0 ) = f(4) = (4)2 −3(4) + 1 = 5 lim lim f (x) − f (4) x2 − 3x + 1 − 5 x2

sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction Vidéo [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : 1 f1 (x) = x2 cos , si x = 0 x f1 (0) = 0; ; 1 f2 (x) = sin x · sin , si x = 0 ; x √ |x| x2 − 2x + 1 f3 (x) = , si x = 1 ; x−1 Indication Correction f2 (0) = 0; f3 (1) = 1. Vidéo [000698]

la dérivée de f′, notée f′′, est appelée dérivée seconde de f ou dérivée d'ordre 2 de f . BLes dérivées des fonctions usuelles Soient un réel λ et un entier naturel n ; on désigne par Df le domaine de définition de f et par Df′ son domaine de dérivabilité. f(x) f′(x) Df Df′ λ 0 R R x 1 R R xn (n⩾1) nxn−1 R R 1xn (n⩾1) −nxn+1 R∗ R∗ x−−√ 12x√ R+ R+∗ CLes opérations sur les dérivées Soit un réel λ ; on désigne par u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. f f′

que ces deux fonctions sont de la forme x + k. L'étude de l'image de 0 ou de l'image de 1 permet de prouver que ces deux fonctions sont des fonctions identités sur pour la première, sur pour la seconde. Dérivée logarithmique Les propriétés de dérivabilité des fonctions composées permettent de dire que, pour toute fonction u réelle, dérivable et strictement positive, la fonction est dérivable de dérivée : Cette dérivée s'appelle la dérivée logarithmique de la fonction u. Elle représente une variation

croissante sur ]0 ;+∞[» Soit a et b dans ]O ;+∞[ avec alneA⟹lnx>A donc limx→+∞lnx=+∞ En 0 : on pose X=1x donc limx→0x>0X=+∞ donc limX→+∞lnX=+∞d’où limx⟶0x>0lnX=+∞ (par composée) donc limx⟶0x>0-lnX=-∞ or lnx=-ln1X=-lnX donc limx⟶0x>0lnx=0 « dérivabilité de lnx » La continuité est admise. On mq lnx est dérivable et que ln'x=1x Soit aЄℝ+ et a+h Є ]0 ;+∞[ ; Ta de ln entre a et a+h ⟶ Ta(h)=lna+h-lnah il suffit de montrer que limh→0Ta=1h On pose b=lna et k=ln(a+h), quand h→0 (a+h) tend vers a donc

 et si le nombre dérivé existe en chaque point de  I , on dit que  f  est dérivable sur  I . La fonction qui a  x  associe le nombre dérivé de  f  en  x  s'appelle fonction dérivée de  f  et se note  f ′ Dérivée des fonctions usuelles Fonction Dérivée Ensemble de dérivabilité k   (k ∈ R) 0 R x 1 R xn   (n ∈ N) nxn − 1 R 1 x √x − 1 x2 1 2√x R \ {0} ]0; + ∞[ Opérations http://www.maths­cours.fr/premiere­es/fonction­derivee 3/6 26/1/2015 Dérivées en Première ES Si  u  et  v  sont 2 fonctions dérivables :

et sa dérivée est : (sin x )' = cos x La fonction cosinus est dérivable sur IR et sa dérivée est : (cos x )' = - sin x Exercice 02 (voir réponses et correction) Calculer les dérivées des fonctions suivantes, en précisant l'ensemble de dérivabilité : f(x) = 3 sin x - 5 cos x ; g(x) = sin2 x ; h(x) = sin x ; tan(x) = sin x x cos x Tableaux de variations Sur l'intervalle [- π ; π], la fonction cosinus a le tableau de variations suivant : 0 x -π π 0 0 0 -sin x + 1 cos -1

f(x) = f’(x) = – x Î * f(x) = f’(x) = – n entier naturel non nul x Î * x a x a  x Î ]0 ; +¥[ 3) Opérations et dérivées u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un nombre réel fixé. Fonction Dérivée Dérivabilité Somme f = u + v f’ = u' + v' dérivable sur l’intervalle I Produit f = ku f’ = ku' dérivable sur l’intervalle I f = uv f’ = u'v+uv' Quotient f = f’ = – dérivable pour les x de I où v(x) ¹ 0 f = f’ = Remarquons que si