Dérivée

dérivé f’(x). On définit ainsi une nouvelle fonction, la fonction dérivé de f, noté f’ telle que f’ : x →f’(x) 5. Une fonction est dérivable en un réel si la dérivée de ce réel existe 6. Si f est dérivable en a alors, f est continu en a mais la réciproque n’est pas forcément vraie. 7. F est dérivable en a si ca dérivée existe et est finie. 8. Si la limite existe f’(a)=limx→afx-f(a)x-a est la pente de la tangent à la courbe d’équation y= f(x) au point P( a ;f(a) ) Une équation

étudie son signe (c'est-à-dire : on cherche tous les abscisses x pour lesquels la dérivée est positive). Ceci permet, sans avoir tracé la courbe, de pouvoir dresser le tableau de variations. Puis on complète le tableau avec les valeurs des éventuels extremums et enfin, on trace la courbe. AUTRE EXEMPLE On considère la fonction g : * ®  1 x a +x x * 1. Calculer g'(x) pour x Î  . 2. Étudier le signe de la dérivée g'. 3. Dresser le tableau de variations de la fonction g. 4. Tracer la représentation

[pic] Une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 2 est [pic]. 3) Formules de dérivation des fonctions usuelles : |Fonction f |Ensemble de définition de f |Dérivée f ' |Ensemble de définition de f ' | |[pic], [pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic], [pic] |[pic]

Démonstration de cours : On considère un nombre réel a. En utilisant la définition du nombre dérivé, prouver que la fonction carré[pic] est dérivable en a, et préciser le nombre [pic]. Exercice 3 : (6 points) Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée [pic] de la fonction f. [pic] 4) [pic] [pic] 5) [pic] [pic] 6) [pic] Exercice 4 : (6 points) Soit f la fonction définie

égal à la dérivée du coût total : et donc : Coût marginal = Dérivée du coût total 2. Coût marginal et coût moyen Pour une structure donnée, il est important de connaître la quantité de produits pour laquelle le coût moyen est minimum, puisque cette quantité permet une production au moindre coût. Le coût moyen (Cmo) est égal au coût total divisé par les quantités : Cmo = Cto / Q ou encore Cmo = f(Q) / Q Une fonction est minimum lorsque sa dérivée première est nulle et que sa dérivée seconde

variable ? ⇒ L’effet d’une telle variation s’obtient grâce à la dérivée de la fonction. En réalité une variable dépend souvent de plusieurs variables. ⇒ On parlera alors de fonctions à plusieurs variables et de dérivées partielles. Microéconomie (L2) Chap 0 2 / 38 Plan 1 Variables et fonctions 2 Représentation graphique des fonctions 3 Dérivée première et interprétation graphique 4 Applications des dérivées 5 Fonctions à plusieurs variables 6 Optimisation

Déterminer le sens de variation de la fonction v sur l’intervalle [0 ; +∞[. Exercice 2 Limites, dérivées, équation et inéquation (6 points) 1) Déterminer les limites suivantes : ex − 1 b) lim (1 + x)e x a) lim x→−∞ x→+∞ x Paul Milan c) lim e2x − e x + 2 x→+∞ d) lim e2x − 1 x→0 x 1 sur 3 19 novembre 2011 contrˆ le de math´ matiques o e Terminale S 2) Déterminer la fonction dérivées des fonctions suivantes : f (x) = (x2 − 2x)e x g(x) = xe x 1 h(x) = 3) Résoudre l’équation

DÉRIVATION 1. Nombre dérivé d’une fonction en un point Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle. 1) Qu’est-ce que le nombre dérivé de f au point a ? Définition Le nombre dérivée de la fonction f au point a est par définition la pente de la tangente, si elle existe, à la courbe représentative de f au point d’abscisse a. Il se note f’(a). Exemple On considère la fonction f suivante, dont la représentation graphique est donnée

dérivabilité Exercice 12 : Les fonctions et définies par : ( ) | | ( ) ( ) (√| |) Sont-elles dérivables en ? Allez à : Correction exercice 12 : Exercice 13 : Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes et calculer la dérivée lorsqu’elle existe : ( ) ( ( )) si 1. ( ) ( ) si 2. 3. ( ) { ( ) Allez à : Correction exercice 13 : Exercice 14 : Soit et deux nombres réels. On définit la fonction par { 1. Donner une condition sur pour que soit continue

équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : y(t) ˙ = f (y(t)) Exemple : y(t) ˙ = 2y(t) Cette équation impose pour être résolue de trouver une fonction y(t) dont la dérivée première est égale à deux fois cette fonction. Une solution de cette équation est y(t) = e2t puisque sa dérivée y(t) ˙ est 2e2t = 2y(t). Remarquons, dans ce cas, que pour n’importe quelle constante k, y(t) = ke2t est aussi une solution