Dérivée

définie sur I telle que F ’ = f sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + cos x. Mentalement on reconnaît la dérivée de la fonction x ! x 3 + sin x . En posant F(x) = x 3 + sin x , on a bien : ! x " !, F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) . Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x) = x 3 + sin x + 11 , la dérivée d’une fonction constante étant nulle, F est aussi une primitive de f. D’où le théorème suivant : Théorème : Si f admet une primitive

vectorielle du temps.   A.4.1.a) Vitesse La vitesse est définie parEn utilisant la décomposition sur la base:Or la base est fixe dans le repère, par suite:On notera souvent :On voit ainsi que le calcul de la dérivée d'une fonction vectorielle de la variable scalaire temps se ramène au calcul des dérivées par rapport au temps des composantes du vecteur; les composantes sont des fonctions scalaires d'une variable scalaire.    A.4.1.b) Accélération L’accélération est définie par En utilisant la décomposition

et obliques (approximativement 10 heures). Tangentes et pentes de tangentes: notation f’(x). La dérivée d’une fonction: exploration graphique et exploration numérique à l’aide de la calculatrice. Les dérivées des fonctions de base (approximati¬vement 10 heures). Formules et règles de dérivation: dérivées des fonctions algébriques. Dérivées des fonctions exponen¬tielles et logarithmiques. Dérivées des fonctions trigonométriques. Règles pour l’addition, la soustraction, la multiplication et la division

Fonctions Nombre Dérivé – Fonction dérivée Ce chapitre est le chapitre central de la classe de Terminale STG. Il permet (en partie) de clore ce qui avait été entamé dés le collège avec les fonctions affines : l’étude des fonctions. L’objectif de ce chapitre est principalement de pouvoir déterminer les variations d’une focntion sans représentation graphique ! Lorsque nous étudierons des fonctions cout ou bénéfice, nous serons alors capables de déterminer le maximum de f, son minimum, les productions

oblique : Y = Mx + P Équation pour trouver M : M = lim f(x) h Équation pour trouver P : P = lim f(x) – m(x) Chapitre 9 : Les dérivées. Le taux d'accroissement de f en x est le quotient définis par TA f(Xo) = f ( Xo + h ) - ( f(Xo) ) h Une fonction f est dérivable en Xo si le taux d’accroissement de f en Xo admet une limite réelle lorsque l'accroissement tend

Vidéo [000738] Exercice 11 On considère la fonction f : R → R définie par f (t) = e1/t 0 si t < 0 si t ≥ 0 1. Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t = 0. 2. Etudier l’existence de f (0). 3. On veut montrer que pour t < 0, la dérivée n-ième de f s’écrit f (n) (t) = où Pn est un polynôme. (a) Trouver P1 et P2 . (b) Trouver une relation de récurrence entre Pn+1 , Pn et Pn pour n ∈ N∗ . 4. Montrer que f est de classe C∞ . Pn (t) 1/t e t 2n Correction Vidéo [000740] Retrouver

évaluer l'errreur maximum commise dans l'intervalle étudié. Exemples : C) Fonctions dérivées 1) Définition Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Si f est dérivable en tout point de I, on dit qu'elle est dérivable sur I et on appelle dérivée, ou fonction dérivée de f, et on note f', la fonction qui à tout x∈ I associe f'(x), nombre dérivé de f en x. Exemple f(x) = x² est dérivable sur ℝ et sa dérivée est f'(x) = 2x ah −a a2 2ahh2 −a2 2ahh2 = = =2ah h h h Or lim  2ah=2a ,

représentant la fonction carré admet donc une tangente en tout point et le coefficient directeur de cette tangente est le double de l'abscisse du point A. Fonctions dérivées Définition Soit une fonctiondéfinie sur un intervalleet dérivable en tout pointd'un intervalleinclus dans I. On appellela fonction dérivée desur J, qui à tout pointdeassociequi est, rappelons-le, le coefficient directeur de la tangente àau point d'abscisse. Exemples En se donnant

Dérivées des fonctions de références. 1) Dérivée d'une fonction. f est une fonction défini sur R et pour tout x de R, il existe un nombre dérivé f'(x). La fonction x ―> f'(x) est la fonction dérivée de f sur R. 2) Dérivée d'une fonction affine (x ―> ax+b) Si f(x)=ax+b alors la dérivée sur R est f'(x)=1. * Cas particuliers: Si f(x)=x Alors f'(x) = 1 (car a=1). Si f(x)=b (constante) Alors f'(x) = 0 (car a=1) 3) Dérivée de la fonction carrée (x ―> x²) Si f(x) = x² alors la

affine de la fonction au voisinage de 2. Pour x proche de 2, 4x – 6 et x² – 2 donnent des résultats très voisins. Fonctions dérivées des fonctions usuellesSoit f une fonction dérivable sur D. La fonction qui à x associe f '(x), le nombre dérivé de f en x, est appelée fonction dérivée de f sur D et on la note f '. Le tableau suivant donne les fonctions dérivées des fonctions usuelles. Fonction constante | ℝ | k | 0 | Fonction affine | ℝ | ax+b | a |