Dérivée

12/12/2013 Séminaire « CRISE FINANCIERE ET JUSTE VALEUR » M 2 GAR ET M2 PMF 2013 – 2014 Responsable du Séminaire : Moez Essid Organisation du cours Objectifs du cours – Comprendre le concept de « juste valeur » et ses implications techniques – Comprendre le rôle de ce concept dans la crise financière Volume horaire : – 12 h répartis en 8 séances de 1h30 Contrôle des connaissances – 30 % Contrôle continu : Exposés à réaliser sur différentes thématiques – 70 % Examen final

autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine. En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courEn physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage

tracé des courbes ne sont pas demandés. 3 Exercice 4 ( 11 points) On considère dans R la fonction définie par : h (x) = a) x1 x 2 4 Donner l'ensemble de définition de cette fonction. b)  x 2  2x  4 Montrer que la fonction dérivée première est : h ‘ (x ) = 2  x 2 4     c) Compléter le tableau de variation de la fonction (aucune justification n'est ici demandée) : x h ' (x) - +  h (x) 4 Exercice 4 ( suite) d) Etudier la nature des branches

l’utilité Troisième phase : utilité marginale négative Consommation d’une unité supplémentaire diminue la satisfaction => exclue car irrationnelle Um= V°Ut/V°X Dérivée de l’utilité totale (rapport de V°Ut sur V°X quand V°X->O) Um= Ut’=dU/dX [V° : accroissement ponctuel entre deux variables quelconques d : différentiel (dérivée : fonction continue)] *reste valable en cas d’utilité totale ordinale : valeur symbolique B. La courbe d’indifférence On fixe un niveau d’utilité donné. Elle

∀x∈R u '( x) = e − x × ( −1) = −e − x . Par suite, ∀x∈R u '( x) + u ( x) = −e − x + e − x = 0 , ce qui prouve que u est solution de l’équation différentielle y' + y = 0. 2. On pose alors y = ze − x, définissant une nouvelle fonction z dont la dérivée est notée z'. Calculer y ' en fonction de x, z et z' puis former l’équation satisfaite par z' en reportant y et y ' dans (1). ∀x∈R y ' = z '× e − x + z × e − x × (−1) = z 'e− x − ze − x y '+ y = 2 xe − x ⇔ z 'e − x − ze − x + ze − x = 2 xe − x y

égal à -3h-10 2) Calculer la limite de ce taux d'accroissement lorsque h tend vers 0 3) En déduire la valeur de f '(2) Exercice 2 : On considère la fonction f ' de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 4x / x² + 1 1) Déterminer la fonction dérivée f ' de la fonction f. 2) Etudier le signe de f '(x). Donner alors le tableau de variation de la fonction f sur ] -10 ; 10 [ 3) Déterminer une équation de la tangente TA à Cf au point A d'abscisse 0. Exercice 3 : Dans le Périgord, un producteur

DÉRIVATION RAPPELS ET COMPLÉMENTS 1 I . Nombre dérivé, Fonction dérivée Dans tout ce paragraphe, f est une fonction dénie sur un intervalle I de R, C f est sa courbe représentative dans un repère ¡ O; ¡!i , ¡!j ¢ et a est un élément de l'intervalle I. I - 1 . Définitions et théorème Dénition : f est dérivable en a si et seulement si l'une ou l'autre des deux propositions équivalentes est réalisée : – la fonction h 7¡! f (a + h) ¡ f (a) h a une limite nie ` en 0, ou encore que la

et Morgenstern (1947) définissent ce qui a été convenu d’appeler la fonction d’utilité Von Neumann-Morgenstern (VNM) : une telle fonction d’utilité respectant ces axiomes de comportement est une fonction croissante de la richesse de l’individu. Sa dérivée première est alors positive : Ensuite, Von Neumann et Morgenstern élaborent le théorème de l’utilité espérée : confronté à un ensemble de lignes d’actions aux résultats aléatoires ou de manière plus générale à un ensemble de loteries, un individu

supplémentaires C h a p i t r e 4 Catégories de problèmes 1. Calcul de dérivées. 2. Calcul de dérivées. 3. Calcul de dérivées. 4. Équation de tangente et de droite normale. 5. Pente de tangente. 6. Équation de tangente. 4 7. Équation de tangente et de droite normale. 8. Équation de tangentes. 9. Équation de tangente et point d’intersection. 10. Calcul de dérivées successives. 11. Calcul de dérivées successives. 12. Taux de variation moyen et taux de variation instantané

limx→0ln(x)=−∞ limx→+∞ln(x)=+∞ D'après le théorème des croissances comparées, pour tout entier naturel non nul n : limx→+∞ln(x)xn=0 limx→0+xnln(x)=0 Le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en 1 étant égal à 1 : limx→1ln(x)x−1=1 BLa dérivée La fonction logarithme népérien est dérivable sur R+∗. Pour tout réel x strictement positif : ln′(x)=1x a molécule et sa position dans l'espace ALes carbones asymétriques Un carbone est asymétrique si, et seulement si, il est relié à quatre