Dichotomie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Méthode de dichotomie (ou bisection) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Tests d’arrêt pour les itérations de Newton . . . . . . 2.3.2 Méthode de Newton pour des systèmes d’équations

Numérique des Equations H. Sadok Cours d’Analyse Numérique, Chapitre 3 : Résolution Numérique Introduction Cas scalaire p = 1 Plan 1 Introduction Bibliographie Introduction Cas scalaire p = 1 Algorithmes de résolution Méthode de dichotomie Méthode de Newton Méthode de la sécante 2 Etude de la convergence Cours d’Analyse Numérique, Chapitre 3 : Résolution Numérique Introduction Cas scalaire p = 1 Bibliographie Introduction Bibliographie A. Quarteroni, R. Sacco

2 2 Le théorème de bijection 2.1 Le théorème de bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Extensions du théorème de la bijection . . . . . . . . . . 2.3 Recherche de solutions approchées de l’équation f (x) = k 2.3.1 La méthode par dichotomie . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La méthode par balayage . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 7 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

But du TP : On cherche numériquement le minimum d’une fonction f unimodale définie sur l’intervalle [a, b]. Pour cela, on va utiliser les méthodes de dichotomie sans et avec dérivées et la méthode de Newton-Raphson et et les appliquer sur quelques fonctions. Question 1 : ➢ Méthode de dichotomie sans dérivées ; Il s’agit de considérer un intervalle plus petit [a’1, b’1] tel que a’1= (1-ρ1)a0+ ρ1b0 et b’1= ρ1a0+(1- ρ1)b0 ou 0 < ρ1=-1définie par F-1=0,F0=1, Fk+1=Fk+Fk-1 Montrons que

la naissance d’un fils le comble de joie. Le sort voulut que la vie de ce fils soit deux fois plus coure que celle de son père. Après la mort de ce fils, Diophante vécut encore quatre année. » A quel âge est mort Diophante ? Algorithme de dichotomie Pour la recherche d’un encadrement des solutions (= des racines) d’une équation de la forme f(x)=0 On considère une fonction f monotone sur [a ;b] tel que f(a) et f(b) soient de signes contraires. On cherche un encadrement de [pic], réel de [a ;b]

. . . . . . . . 2.2.5 Méthode du gradient conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Zeros de fonctions non-linéaires. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Méthode de dichotomie (ou de la bissection). Méthode de Newton. . . . . . . . . . . . . . . Méthode de la sécante. . . . . . . . . . . . . . Méthode de la corde. . . . . . . . . . . . . . . Méthode de point xe. . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Le théorème du point

chiffre 1. En k questions, on a determine tous les chiffres binaires de la bonne boˆte. Cela revient ı ´ ` egalement a poser k questions, chaque question ayant pour but de diviser successivement le nombre de ´ ´ ´ boˆtes considerees par 2 (methode de dichotomie). ı ´ ˆ ´ Jerome Aze (LRI-CNRS) Cours DataMining 2009-2010 4 / 10 Entropie Principe Mesure de l’information Exemple ´ Si N = 1, I = 0. Il n’y a qu’une seule boˆte : aucune question n’est necessaire. ı ´ ´ Si N = 2, I =

51 Point d’inflexion 52 Exemple 53 Mise en garde 54 Quelques théorèmes fondamentaux en analyse de fonctions numériques de la variable réelle Théorème des valeurs intermédiaires 55 Cas particulier important 56 Exemples 57 Méthode de dichotomie pour approcher une solution réelle de l’équation f(x) = 0 58 Théorème de Rolle 59 Mise en garde 60 Généralisation : Théorème des accroissements finis 61 Corollaire : Inégalité des accroissements finis 62 Exercice 63 Règle de L’Hôpital

pourquoi le débat théorique existant autour de la dichotomie ou non entre sphère réelle et monétaire est important en économie. En effet, l’indépendance ou non de celle-ci entraîne de nombreux enjeux au niveau des politiques économiques. La sphère réelle regroupe l’ensemble des activités de production, d’emploi, d’investissement et de la consommation. La sphère monétaire quant à elle représente les flux monétaires dans les échanges. Cette dichotomie entre sphère réelle et monétaire a été établie

pourquoi le débat théorique existant autour de la dichotomie ou non entre sphère réelle et monétaire est important en économie. En effet, l’indépendance ou non de celle-ci entraîne de nombreux enjeux au niveau des politiques économiques. La sphère réelle regroupe l’ensemble des activités de production, d’emploi, d’investissement et de la consommation. La sphère monétaire quant à elle représente les flux monétaires dans les échanges. Cette dichotomie entre sphère réelle et monétaire a été établie