Diviseur

le dividende , le nombre b est le diviseur. Le résultat est le quotient, et peut être accompagné d'un reste : dividende=diviseur×quotient+resteOn écrit aussi : a=b×q+rEt on pose : dividende diviseur reste quotient Le reste doit toujours être inférieur au diviseur. La division par 0 est impossible. 46=3×15+132=4×8+0 BLes multiples et les diviseurs Si le reste de la division de a par b est nul (égal à 0), on dit a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a. On dit également que a est divisible par b

euclidienne est de 4 103/10 : le reste de la division euclidienne est de 3 2. / étudier la primalité de 119 Il est possible de déterminer si un nombre est premier ou non. Concernant 119, la réponse est : non, 119 n’est pas un nombre premier. Ses diviseurs sont : 1, 7, 17, 119. Pour être premier, il aurait fallu qu’il ne soit divisible que par 1 et lui-même. Par conséquent : 119 est multiple de 1 119 est multiple de 7 119 est multiple de 17 En revanche, 119 est un nombre semi-premier (encore appelé

s’utilise que dans certains cas particuliers. Analyse mathématique : Notions mathématiques sous-jacentes: Notion mettant en jeu à la fois l'écriture décimale et la notion de valeur approchée. La division euclidienne à deux nombres (diviseur et dividende) en associe deux autres (quotien et reste), tandis que la division décimale permet de trouver une valeur décimale du nombre, elle permet de ''repartager le reste'' en valeurs inférieur à 1. Points importants tirés des programmes:

chapitre, on introduit la notion de diviseur et de multiple ainsi que les propriétés liées à ces notions. Dans le deuxième paragraphe, on définit la division euclidienne dans ‫ ,ގ‬puis la division euclidienne dans ‫ ,ޚ‬en se limitant, conformément au programme, au cas d’un diviseur positif. Dans le troisième paragraphe, on aborde les congruences en développant les démonstrations. Corrigés des activités préparatoires ACTIVITÉ 1 Objectif Revoir la notion de diviseur 1) N = a × 10 3 + b × 10 2

Alors aucun des pi ne divisent m, pourtant un des diviseurs premiers de e P est congrus ` 1 modulo 4. En effet, soit p 3 un nombre premier qui divise n2 + 1. Alors n ∧ p = 1 car sinon p a diviserait n et donc 1. Donc np−1 = 1 mod p. Or p est impair donc p − 1 = 2k et alors on obtient : (−1)k = 1 et donc k est pair, i.e p = 4k + 1 = 1 mod 4. Pour conclure il suffit alors de dire que P est impair donc admet un diviseur premier impair, donc un diviseur de la forme 4k + 1, ce qui est absurde. 1 Exercice

ab = ba . a e 1)a) Pour quelles valeurs de a peut on avoir b = 2 ? 2)On suppose d´sormais que b ≥ 3.Pour des raisons de sym´trie dans les e e rˆles de a et b, on se limitera au cas o` b ≤ a o u a) Prouver que a et b ont les mˆmes diviseurs premiers e b) Soit p un diviseur premier commun ` a et ` b , α et β ses exposants dans a a les d´compositions respectives de a et b en facteurs premiers. e D´montrer que αb = βa e c) D´duire du a) et du b) que a est un multiple de b et que si a = kb alors e bk−1

rϕ(n) une ´num´ration des e e e e entiers compris entre 1 et n, premiers ` n. nous allons montrer que la multiplia cation par a (modulo n), est une bijection de cet ensemble. 2 – Pour tout i, on a ari encore premier ` n (sinon, il y aurait un diviseur prea mier commun, qui diviserait soit ri , soit a, contredisant ainsi l’hypoth`se, e a ` savoir que a et ri sont premiers ` n). a – Pour i et j distincts, ari et arj ne sont pas congrus modulo n. Dans le cas contraire, on aurait un entier k tel que

que si 1 = u = q 2 , ce qui implique que q = 1 et p 2 = n . L’entier n est un carré. Ainsi, implique n rationnel implique n entier naturel. Par contraposition, n non entier naturel n irrationnel. 2. Un nombre premier n’a pas de diviseur strict, ce n’est donc pas un carré. Sa racine n’est pas un entier donc est irrationnelle. 3. Supposons ln 2 ln 2 p rationnel. Il existerait deux entiers naturels p et q premiers entre eux, tels que : = ln 3 ln 3 q donc tels que : 2 q

Economie monétaire et financière I- S3 –TD n°5: Multiplicateur et diviseur de créditExercice 1  : Dans une économie fictive, les agents économiques non financiers (AENF) disposent de 300 unités monétaires en billets (B) et de 1500 en dépôts à vue (D) auprès des établissements de crédits (EC). La Banque centrale (BC) a fixé le taux r des réserves obligatoires à r=1/15.1) A partir de la formule générale du multiplicateur, calculez sa valeur. 2) Interprétez la valeur

1 Divisibilité, division euclidienne, congruences Résolution de problèmes 1 Des multiples et des diviseurs 1. Le code 1 signifie « allumée » et le code 0 « éteinte ». lampe n° étape 1 étape 2 étape 3 étape 4 étape 5 étape 6 suivantes 2 1 0 0 0 0 0 0 3 1 1 0 0 0 0 0 4 1 0 0 1 1 1 1 5 1 1 1 1 0 0 0 6 1 0 1 1 1 0 0 2. Lampe n° 12 : 12 = 1 ¥ 12 = 2 ¥ 6 = 3 ¥ 4 donc 5 changements d’état ; état final : « éteinte » Lampe n° 25 : 25 = 1 ¥ 25 = 5 ¥ 5 donc