Diviseur

I. DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL a) Définition Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d ×k Ainsi, k est aussi diviseur de a. En clair : 4 est-il un diviseur de 12 ? 12 = 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12. b) Remarques Pour tout nombre entier naturel n on a : 1×n = n On en conclut que 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel est un diviseur de lui-même

ET PGCD I. DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL a) Définition Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d ×k Ainsi, k est aussi diviseur de a. En clair : 4 est-il un diviseur de 12 ? 12 = 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12. b) Remarques Pour tout nombre entier naturel n on a : 1×n = n On en conclut que 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel est un diviseur de lui-même

Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30) l’ensemble des diviseurs communs à 12 et à 30 On a : D(12 ;30)= {-6;-3;-2;-1;1 ;2 ;3 ;6}

2.1 Matlab. 2.1.1 Grandeur électrique Figure 2.1 : Résistance de linéarisation La tension aux bornes de la thermistance, est l'image de la température. Nous avons rajouté une résistance en série avec la thermistance RT pour réaliser un pont diviseur de tension en utilisant le modèle de Thévenin. MatLab est un bon logiciel pour déterminer la valeur de cette résistance. 2.1.2 Simulation Nous simulons le comportement de la thermistance grâce au logiciel Matlab, qui nous permet d'obtenir

Élaboration de la tension v3 4.1 Étude de la tension v4 a) document réponse 3 b) document réponse 3 4.2 Étude de la tension v6 a) AO1 en régime de saturation, boucle ouverte. b) AO1 est monté en comparateur simple non inverseur c) v5 = Vcc/2 (diviseur de tension) ( v5 = 7,5V d) document réponse 3 4.3 Étude de la charge du condensateur a) équation différentielle Io =C1.dv3/dt b) Io = K.v6 ( dv3/dt = (K/C1).v6 c) (K/C1)/.v6 = (50/250).15 = 3 V/s la primitive d'une constante est une

bien que meilleure que la précédente, n’est pas très satisfaisante. Fig. 5 r – Par pont de base et résistance d’émetteur Pour rendre indépendant le courant collecteur des variations du gain, on utilise un diviseur de tension nommé « pont de base ». R1 IC Le pont diviseur maintient constant VBM à condition que les variations du courant base puissent être négligées devant le courant I1 qui circule dans les résistances du pont de base. VBM = R2.I1 RC E I1 VBM = VBE + VEM

sommation2 symbˆole de produit3 a|b [x] {x} pgcd a∧b ppcm a∨b a divise b partie enti`ere de x partie d´ecimale de x plus grand commun diviseur pgcd (a, b) plus petit commun multiple ppcm (a, b) a ≡ b (mod N ) a est congru `a b modulo N 2 3 p vp (n) d(n) σ(n) ϕ sb (n) π (n) un nombre premier valuation p-adique de n nombre de diviseurs positifs de n somme des diviseurs positifs de n fonction indicatrice d’Euler somme des chiffres de n en base b nombre de nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux `a n

complexes. Simplifier le circuit en utilisant les lois d’association série, parallèle. ¾ Écrire vS ( t ) sous la forme : vS ( t ) = Sm cos (ωt + ϕ ) . 1 jCω VE résultats du continu : diviseur de tension, diviseur de courant, loi des mailles, loi des nœuds en termes de potentiel ou théorème de Millman. R On peut écrire un diviseur de tension : VS = VE . D’où la fonction de transfert : 1 R+ + jLω jCω VS Ve = R vS R VS I ¾ On cherche à exprimer VS en fonction de VE . On utilisera les H ( jω ) = L

Nomme sa hauteur. Quelle est sa longueur ? 3. Applique la formule suivante pour calculer le volume de cette pyramide (en). Exercice 3 : LES NOMBRES PARFAITS Définition : On dit qu'un nombre est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs exceptés lui-même. 1. Démontre queest un nombre parfait. 2. Démontre queest un nombre parfait. Exercice 4 : LES BONBONS DE NOEL 1. Rend irréductible la fraction . 2. Le chef cuisinier a reçu 126 pralines et 175 pâtes de fruit. Il décide d'offrir

et a un entier naturel. Deux cas sont possibles. > a est premier avec p : alors d’après le 1, a p −1 ≡ 1 ( p ) et, soit en multipliant chaque terme par a, a p ≡ a ( p ) . > a est non premier avec p : cad qu’ils ont un diviseur commun différent de 1. Mais p étant premier, ce diviseur commun est forcément p ! Donc p divise a et même p divise a p donc on a bien a p ≡ a ( p ) (car congrus à 0 tous les deux). 3. La décomposition de 42 en produit de facteurs premiers est 42 = 2 × 3 × 7 : nous allons prouver