Division euclidienne

pgcd(A, BC ) = pgcd(A,C ) . Division euclidienne Exercice 14 En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur (λ , µ ) ∈ K 2 pour que X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + λX 2 + µX + 2 . Exercice 15 Soit (a ,b ) ∈ K 2 tel que a ≠ b et P ∈ K[X ] . Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X −a )(X −b ) en fonction de P (a ) et P (b ) . Exercice 16 Soit a ∈ K et P ∈ K[X ] . Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X −a ) 2 en fonction

un n ∈ Z, alors n = 0, et comme x−n est aussi dans H , on peut supposer n > 0. Posons alors m le plus petit entier strictement positif tel que xm ∈ H . Évidemment xm ⊆ H . Soit maintenant xk ∈ H un élément quelconque de H . En effectuant la division euclidienne de k par m dans Z, on sait qu'il existe q, r ∈ Z tels que k = mq + r et 0 ≤ r < m. Or xk = xmq+r = (xm )q xr implique xr = xk (xm )−q ∈ H . D'où r = 0 à cause de la dénition de m. Ainsi, xk = (xm )q est un élément du sous-groupe xm , Finalement

OMN est rectangle 4) On désigne par x et y deux entiers naturels non nuls vérifiant : 2x = 3 y et x un entier pair Le reste de la division euclidienne de y par 4 est : a) 2 b) 1 c) 0 Exercice 2: (5points) 1° a) Montrer par récurrence que, pour tout entier n  0, le reste de la division euclidienne de 2 4 n par 5 est égal à 1. b) En déduire le reste de division euclidienne par 5 de chacun des nombre 2 2010 et 2 2011 2° On désigne par (x n ) et ( y n ) les suites définies sur IN par : x n = 2 n1 + 1

. . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Propri´t´s sur la divisibilit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee e 3 La division Euclidienne 3.1 La division Euclidienne dans N . . . . 3.1.1 Th´or`me . . . . . . . . . . . . e e 3.1.2 D´finition . . . . . . . . . . . . e 3.1.3 D´monstration . . . . . . . . . e 3.2 La division Euclidienne dans Z . . . . 3.2.1 Th´or`me . . . . . . . . . . . . e e 3.2.2 D´finition . . . . . . . . . . . . e 3.2.3 D´monstration . . . . . . . . . e 3

Exo7 Arithmétique dans Z 1 Divisibilité, division euclidienne Exercice 1 Sachant que l’on a 96842 = 256 × 375 + 842, déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre 96842 par chacun des nombres 256 et 375. Indication Correction Vidéo [000251] Exercice 2 Montrer que ∀n ∈ N : n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24, n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120. Correction Vidéo [000257] Exercice 3 Montrer que si n est un entier

Chapitre 18 Arithmétique Objectifs Dans et [X ] qui sont des anneaux euclidiens : • Définir la notion de congruence. • Recherche des diviseurs communs : algorithme d’Euclide. • Notion d’éléments premiers entre eux : théorème de Bezout et ses conséquences. • Notion de Pgcd et de Ppcm. • Notion d’éléments premiers (ou irréductibles), décomposition en facteurs premiers. Sommaire I) Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Rappels . . .

fonctionner des structures de contrôle 5.3 Opérations élémentaires et expressions 5.3.1 Expressions arithmétiques - Opérations binaires - entiers ou rées : + , - , * , / - entiers div, mod : a div b : quotient euclidien de a par b a mod b : reste de la division euclidienne de a par b Une expression arithmétique est soit : - Une constante numérique - Une variable numéri que - Une combinaison des précédentes avec des opérateurs et des parenthèses ex : (a+b)*c 5.3.2 Expressions booléennes

---------------------------Niveau : 2 T informatique---------------------Page 3 Activité 2 : Systèmes de numération et codes Partie 1 : Exemples de conversion (25 points : 2×6+1×4+1×2+1×2+0.25×4×5) 1. Faire le codage des nombres décimaux suivants (utiliser la division euclidienne) (21)10 ; (45)10 On obtient (21)10= (…………………………………)2 On obtient (45)10= (…………………………………)2 2. Faire le décodage des nombres binaires suivants (10011001)2 ; (11011101)2 ……………………...………………………………………………………………………………………… …………………..……………………………………………………………………………………………

RELATIFS 5 2.1 Addition et soustraction 5 2.2 Multiplication et division 5 3 FRACTIONS 6 3.1 Fraction irréductible 6 3.2 Addition et soustraction de fractions 6 3.3 Multiplication et simplification de fractions 6 3.4 Divisions de fractions 6 3.5 Divers 6 3.6 Fraction irréductible par le PGCD 6 4 PUISSANCES ENTIÈRES 7 4.1 Application des formules de puissances 7 4.2 Addition et soustraction de puissances de dix 7 4.3 Multiplication et division de puissances de dix 7 4.4 Puissances particulières 7 5 RACINES

entiers associés ont les même diviseurs et les même multiples. Dans les problème de divisibilité, on peut donc sans inconvénient raisonner à un facteur inversible près. Concrètement, on pourra toujours se ramener à des entiers positifs. 2  Division euclidienne 3  Sous-groupes de (Z,+) Soit a∈Z. On note aZ:={an,n∈Z}={b∈Z, a|b} l’ensemble des multiples de a. C’est un ensemble infini, sauf si a=0. On a 0Z={0}, 1Z=Z. Pour tout a∈Z, aZ=(−a)Z. Proposition 4   Soit a∈Z. Alors : * a divise 0.