Endomorphisme nilpotent

nécessaire et suffisante sur F et G pour qu’il existe un endomorphisme f de E tel que F = Kerf et G = Imf. no 21 (***) : Soient E un espace vectoriel non nul de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer que : 1) (f non injective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à gauche). 2) (f non surjective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à droite). no 22 (*** I) : fn = 0. Soient E un espace de dimension finie n non nulle et f un endomorphisme nilpotent de E. Montrer que  8 no 23 (***I) : Soient A

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés Exercice 7 [ 03156 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer ∀k, ∈ N, dim ker uk+ dim ker uk + dim ker u 1 Eléments d’algèbre linéaire Généralités d’algèbre linéaire Exercice 1 [ 00159 ] [correction] Soit f ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E, x et f (x) soient colinéaires. Montrer que f est une homothétie vectorielle. Projecteurs Exercice 8 [ 00165 ] [correction] Soient p et

nécessaire et suffisante sur F et G pour qu’il existe un endomorphisme f de E tel que F = Kerf et G = Imf. no 21 (***) : Soient E un espace vectoriel non nul de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer que : 1) (f non injective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à gauche). 2) (f non surjective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à droite). no 22 (*** I) : fn = 0. Soient E un espace de dimension finie n non nulle et f un endomorphisme nilpotent de E. Montrer que  8 no 23 (***I) : Soient A

ker Dp+1 . Ep ´etant stable par D et g, les endomorphismes induits g p et Dp v´erifient la mˆeme relation. b. De mˆeme que pr´ec´edemment puisque D est un polynˆ ome en g et E n = ker Dn+1 . c. i/ • F est de dimension finie (n + 1) donc engendr´e par une famille finie F de polynˆ omes. Etant finie, F est incluse dans un sous espace Eq donc F ⊂ Eq . Dans ce cas D q+1 F = {0} donc l’endomorphisme induit de DF est nilpotent. DF est un endomorphisme nilpotent en dimension n + 1 donc D Fn+1 = 0 (pr´eliminaire

Commutant d’un endomorphisme diagonalisable. 1. Soit v ∈ C(u). Soient i ∈ 1, p et x ∈ Eλi (u). Puisque v commute avec u, v commute encore avec f − λi Id et (f − λi Id)(v(x)) = v((f − λi Id)(x)) = v(0) = 0. Ainsi, ∀i ∈ 1, p , ∀x ∈ E, (x ∈ Eλi (u) ⇒ v(x) ∈ Eλi (u)) et on a donc montré que si v ∈ C(u), chaque Eλi (u) est stable par v. 2. 3. Soit i ∈ 1, p . ui est l’homothétie de rapport λi . Si v ∈ C(u), d’après 1., pour chaque i, la restriction vi de v à Eλi (u) est un endomorphisme de Eλi (u).

Devoir Libre n◦ 2 PSI MATHEMATIQUES (` rendre le 16 septembre 2011) a Soit E un K espace vectoriel (K = R ou C) et u un endomorphisme de E. On d´signe par keru le noyau de u et Imu l’image de u. e Pour tout entier k strictement positif, uk d´signe l’endomorphisme u ◦ u ◦ u · · · ◦ u (k e fois) et u0 d´signe l’application identique de E. e PREMIERE PARTIE ADans cette partie, E d´signe un espace vectoriel sur R dont une base est B = (e1 , e2 , e3 , e4 ). e Soit u l’endomorphisme de E tel que

pour + L1 Maths - Info Algèbre 2008 Un élément x de A est dit nilpotent s’il existe n ∈ N∗ tel que xn = 0. On peut montrer que ∀(x, y) ∈ A2 , ∀n ∈ N∗ , p (x + y) = k=0 p p k xk y p−k , où p k = p! . k! (p − k)! (a) Soient x et y deux éléments nilpotents de A. Montrer que x + y est nilpotent. (b) Soit x un élément nilpotent de A et soit y ∈ A. Montrer que xy est nilpotent. (c) Soit x ∈ A nilpotent. Montrer que 1 − x est inversible et déterminer son inverse. Exercice 12

Puissance d’endomorphisme Définition : Si , , , … , ( avec ) Définition : Si . Définition : est dite nilpotente si \ b. Polynôme d’endomorphisme Soit , soit donc . Proposition : , est une -algèbre Exemple : c. Propriété algébrique de polynôme d’endomorphisme Théorème : Si , Est un morphisme de groupe de -algèbre. , et Définition : est une sous algèbre de d. Polynôme endomorphisme et SEV stable Proposition : , , stable par et stable par f Conséquence : stable par . , , .

famille Ei,j 1 i,j n est une base de Mn (C), dite base canonique, et que ∀ (i, j, k, l) ∈ {1, . . . , n}4 , Ei,j Ek,l = δj,k Ei,l , avec δj,k = 1 si j = k et 0 sinon. Pour tout couple (P, Q) d’´ l´ ments de GLn (C), on notera uP,Q et vP,Q les endomorphismes de ee Mn (C) d´ finis par e ∀ M ∈ Mn (C), uP,Q (M ) = P M Q et vP,Q (M ) = P tM Q. Premi` re partie e 1. Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). (a) Pour tout couple (i, j) d’´ l´ ments de {1, . . . , n}, exprimer les matrices AEi,j et Ei,j A dans ee la base

Correction 1.a 1.b u n est un endomorphisme de E et on sait qu’image et noyau d’un endomorphisme sont des sous-espaces vectoriels. ∀y ∈ Fn +1 = Im u n +1 , ∃x ∈ E tel que y = u n +1 (x ) donc y = u n (u (x )) ∈ Im u n = Fn . Ainsi Fn +1 ⊂ Fn . ∀x ∈ Gn = ker u n , on a u n +1 (x ) = u (u n (x )) = u (o ) = o donc x ∈ ker u n +1 = Gn +1 . Ainsi Gn ⊂ Gn +1 . 2. F ⊂ E . Pour tout n ∈ ℕ , o ∈ Fn car Fn est un sous-espace vectoriel de E , donc o ∈ F . Soit λ , µ ∈ ℝ et x , y ∈ F . Pour tout