Ensemble vide

d’abréviations : Pour vos abréviations, vous pouvez utiliser différents codes : Tout d’abord, des codes mathématiques et scientifiques : + : plus) ; - = : égal > : supérieur < : inférieur ≠ : différent, opposé ø : ensemble vide, rien, aucun ε : appartient Ensuite, il y a des abréviations courantes : bcp. : beaucoup càd : c’est-à-dire cf : se reporter à Ccl : conclusion cpdt. : cependant ds : dans ê : être gd : grand m : même

[3,2,B]) rev([1,2,C],[3,3,D]) → → → → → true Y=[1,1,9] X=[52,32] A=3, B=1 ∅ pas vraiment de notion d’entr´es/sorties e programmation tr`s d´clarative e e pas trop de notion de flot du calcul r´sultat d’un programme: ensemble de solutions de la requ`te e e plus petit ensemble de faits satisfaisant axiomes et r`gles e Prolog – hello world famille pere(X,Z) :- pere(X,Y), frere(Y,Z). grandpere(X,Z) :- pere(X,Y), pere(Y,Z). fils(X,Y) :- pere(Y,X). pere(X,Y) :- fils(Y,X). cousin(X,Y) :- pere(T

nombres entiers. Il faut en effet en ce cas remplacer la contrainte x ∈ R3+ par x ∈ Z3+ x1 = Exemple 2 : r´ epartition de tˆ aches sur des machines Enonc´e Un ing´enieur syst`eme est confront´e au probl`eme suivant. Soit un ensemble de tˆaches ind´ependantes et un ensemble de machines dont les caract´eristiques sont : – pour les tˆaches : – le besoin en capacit´e de calcul – le besoin en m´emoire – pour les machines : – la capacit´e de calcul – la capacit´e m´emoire Un coˆ ut sera d´esign´e pour

1 . Soient a et b deux entiers > 0. (a) Montrer que si a et b sont premiers entre eux, il existe un unique couple d’entiers > 0 (u, v) tel que au − bv = 1 v´rifiant u < b et v < a. e (b) Montrer que a et b sont non premiers entre eux si et seulement s’il existe deux entiers > 0 u et v tels que au = bv, avec u < b et v < a. e e 2 . : Le th´or`me chinois : (a) D´terminer tous les entiers relatifs qui deviennent divisibles par 5 si on leur ˆte 1, et divisible par e o 4 si on leur ajoute 1. (b) Soit a

le système a une infinité de solutions). Nous sommes donc ici dans le cas général où les deux droites se coupent en un seul point et où, en conséquence, le système a une solution unique. EXERCICE 3 1. En général, l’intersection de trois droites est vide.  2. S2  (car les deux premières équations sont celles de S1) . Ce système a donc une solution si a = 3. En revanche, il n’en a pas pour toutes les autres valeurs de a. 3. Lorsque a = 3, le système S2 devient : . Si l’on applique la méthode

expression pour se ramener à un cas de figure du cours (vu en exercice). – Manipuler une équation pour se ramener à un cas de figure du cours (vu en exercice). – Savoir exprimer le résultat d'une équation/inéquation quand celui-ci est l'ensemble vide ou l'ensemble des nombres. Formulaire: Identités remarquables: 2 2 (a+b) =a +2 a b+b 2 2 2 (a−b) =a −2 a b+b 2 2 2 a −b =(a+b)(a−b) Puissances: x (a+b)=x a x b x(a−b)= Expressions algébriques a x b x a b ( x ) =x ab x=x 1 0 x

Exercices révision Exercice 1 Dans tout l’exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y. S est l’ensemble des couples (x, y) tels que PGCD(x, y) = y −x. 1. a. Calculer le PGCD(363, 484). b. Le couple (363, 484) appartient-il à S ? 2. Soit n un entier naturel non nul ; le couple (n, n +1) appartient-il à S ? Justifier votre réponse. 3. a. Montrer que (x, y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y −x) et y = (k +1)(y −x).

ENSEMBLES DE NOMBRES I. Définitions et notations 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ . ℕ = {0 ; 1; 2 ;3 ; 4...} . Exemples : 4 ∈ℕ -2 ∉ ℕ 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ . ℤ = { 3 ;−2 ;−1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ...}. ...− Exemples : -2 ∈ ℤ 5∈ ℤ 0,33 ∉ ℤ 3. Nombres

ENSEMBLES DE NOMBRES I. Définitions et notations Non exigible 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ. ℕ= . Exemples : 4 ℕ -2 ℕ 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ. = . Exemples : -2 ℤ 5 ℤ 0,33 ℤ 3. Nombres décimaux Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre

Th´ orie de l’int´ gration e e Jean JACOD 2002-2003 Table des mati` res e 1 Introduction - La notion de mesure 1.1 Rappels sur les ensembles . . . . . . . . . . . 1.2 Th´ orie de la mesure et th´ orie de l’int´ gration e e e 1.3 La classe des ensembles mesurables . . . . . . 1.4 Les mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . ` L’int´ gration par rapport a une mesure e 2.1 Les fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . 2.2 L’int´