Entier naturel

rouges et les autres sont vertes. 1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ? 2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. Montrer que la probabilité qu'elle porte le numéro 2 est 2 égale à . 7 3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue n tirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne). a. Exprimer en fonction de n la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours

Mourougane sur la base d’un texte ant´rieur d’Antoine Chambert-Loir. e e e Que ces deux auteurs soient ici remerci´s. e 25 septembre 2009 ` ´ ALGEBRE ET ARITHMETIQUE 1 ` TABLE DES MATIERES Partie I. Logique, th´orie des ensembles, nombres entiers naturels. . . . . . . . . . . . . . e 1. Logique et th´orie des ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1. Un peu de logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE Exemple 1 On considère la proposition P(n) dépendant d'un entier n : « 10n - (-1)n est un multiple de 11 » (On rappelle qu'un nombre est multiple de 11 lorsqu'il s'écrit sous la forme 11 x k avec k ∈ ZZ ) Vérifions que cette proposition est vraie pour les entiers n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4. Pour n = 0 : 10n - (-1)n = 100 - (-1)0 = 1 - 1 = 0 = 11 x 0 Pour n = 1 : 10n - (-1)n = 101 - (-1)1 = 10 - (-1) = 10 + 1 = 11 = 11 x 1 Pour n = 2 : 10n - (-1)n = 102 - (-1)2 = 100 - 1 = 99

tout entier naturel 4, un 5, un o. n - 3. b. c. En déduire que pour tout entier naturel n En déduire la limite de la suite (u )neN. ll 3. On définit la suite (vn )lleN par: pour tout nE N, vn a. = -2u n + 3n - 2. 21 Démontrer que la suite premier terme. (VII )lleN est une suite géométrique dont on donnera la raison et le b. En déduire que : pour tout nE N ,u n = 25 4 (!)n + 2 3 Il - 4 c. Soit la somme Sn définie pour tout entier naturel

FRQWLQX HW DSSURIRQGL GDQV FHWWHPDWLqUHFHQHVHUDTXHSOXVDSSUpFLpSDUODVXLWH  4XHOTXHVQRWLRQVXWLOHVDYDQWG·DERUGHUOHFRXUVjSURSUHPHQWSDUOHU  1. Théorie des ensembles : généralités L’arithmétique étudiant les nombres entiers, il sera important de bien préciser certaines propriétés que possède l’ensemble de ces nombres. Mais il est avant tout essentiel de se faire une petite idée de la notion d’ensemble en général et de voir (ou revoir) certaines propriétés et définitions

pour tout entier naturel n supérieur ou égal à un entier naturel n0 fixé, on procède en trois étapes : Initialisation : On montre que la propriété est vérifiée pour l’entier n0 Hérédité : On montre que si la propriété est vraie pour un entier naturel k≥n0 (c’est l’hypothèse de récurrence) alors elle est vraie pour l’entier suivant k+1 Conclusion : Comme la propriété est vraie pour l’entier n0 et est héréditaire à partir de ce rang, on conclut que la propriété est vraie pour tout entier n≥n0

volume ? 15 MASCOAN1 Page 2/7 E XERCICE 2 (5 points) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points (A n ) par leurs coordonnées (x n ; y n ) de la façon suivante : x 0 = −3 y0 = 4 1. x n+1 = 0, 8x n − 0, 6y n et pour tout entier naturel n : y n+1 = 0, 6x n + 0, 8y n a) Déterminer les coordonnées des points A 0 , A 1 et A 2 . b) Pour construire les points A n ainsi obtenus, on écrit l’algorithme

copie et de\(ra poursui\w sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a étf an~né à prendre. Autour des produits infinis Si II,, est un entier (P,, ),,>,,,, définie naturel et si (il!, ),12,i,, est une suite de réels non nuls, II 2 II,~ par : 6 = ni,, ,““, I[~! , converge on lui associe la suite pour tout entier naturel = I!!,,, . lli ,,,_, . . . . . ld,, On dit que le produit infini ni{), li>U, . de terme général si la suite (P,, ),,>,,,, converge vers

) définie pour tout entier naturel n par   v0 = 1 9  v n+1 = 6 − vn Partie A 1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse. Algorithme No 1 Variables : v est un réel i et n sont des entiers naturels Algorithme No 2 Variables : v est un réel i et n sont des entiers naturels Algorithme No 3

dite héréditaire à partir du rang n0 si lorsque pour un entier k n0, la propriété est vraie, alors elle est vraie pour l'entier k+1. Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également. Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n0. Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation)