Entier naturel

CH5 –Algèbre : Suites numériques 2ème Sciences Décembre 2009 A. LAATAOUI I. Présentation des suites numériques : Définition d’une suite : Une suite (un) est une fonction définie sur l'ensemble ¥ qui à tout entier naturel n associe un et un seul réel noté un. Autrement écrit : ¾¾® (un) : ¡ ¥ ¾¾® n un = u(n) Remarque : l'image de l'entier n est notée un au lieu de u(n). A retenir : On dit que un est le terme de rang n ou le terme d’ordre n ou le terme d’indice n de la suite. un est aussi appelé

suppose connus les résultats suivants: • • J:(f(t)+g(t))dt= J:f(t)dt+ J:g(t)dt. Si pour tout tE[a,b), f(t) ?: O alors J:f(t)dt ?: O. alors Montrerque:sipourtout tE[a,b], f(t) ~ g(t) J:f(t)dt ~ J:g(t)dt. Partie B Soit n un entier naturel non nul. On appelle /" la fonction définie sur [0, + oo[ par /" (x) == ln (1 + x") et on pose In On note = J~1n(l+xn)dx. en la courbe représentative de J" dans un repère orthonormal (0; i,]) 1. Q. Déterminer la limite

Exemple 1 : On définit la suite ( Cette suite est définie sur est une application de par: ∖ 0 , c'est-à-dire pour tout entier naturel 1 ∖ 0 vers : ∖ 0 → ↦ 1 Son premier terme est =1 Exemple 2 : On définit la suite ( etc …. par: pour les entiers naturels strictement supérieur à 3 Cette suite est définie pour tout ∈ 3 vers 3, est une application de l’ensemble: Son premier terme

An) et P(An+1 ∩ An ) en fonction de P(An) . c) En déduire que, pour tout entier strictement positif n ≥ 1 , on a : P(An+1) = 0,2 P(An) + 0,6. 2° On pose à présent, pour n ≥ 1 , pn = P(An) et Un = pn – 0,75. a) Démontrer que (Un) est une suite géométrique de raison 0,2. b) En déduire une expression de pn en fonction de n. c) Montrer que (pn) admet une limite que l'on calculera. n e 2 Exercice III On pose pour tout entier naturel n non nul : In = ⌠ ⌡1 x (ln x) dx e 2 où ln désigne la fonction logarithme

On précisera les limites de f 1 en +∞ et en −∞. Partie B L’objet de cette partie est d’étudier la suite (I n ) définie sur N par : I n = 1 0 x + e−nx dx. → → − − 1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; ı ,  , pour tout entier naturel n, on note C n la courbe représentative de la fonction f n définie sur R par f n (x) = x + e−nx . Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe C n pour plusieurs valeurs de l’entier n et la droite D d’équation x = 1. C1 C2 A C3

considère la suite de nombres complexes (Z n ) définie pour tout entier naturel n par Z 0 = 1 + i et Z n+1 = 1+i Z n . On note Mn le point du plan d’affixe 2 Zn . a. Pour tout entier naturel n, le point Mn appartient au cercle de centre O et de rayon 2. b. Pour tout entier naturel n, le triangle OMn Mn+1 est équilatéral. c. La suite (U n ) définie par U n = |Z n | est convergente. Z n+1 − Z n est π . d. Pour tout entier naturel n, un argument de 2 Zn 4. Soit A, B, C trois points du plan

F(a) quand a tend vers +∞? Partie B On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un =Zn+1 n f (x)dx. On ne cherchera pas à expliciter un. 1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1 f (n +1)6un 6 f (n). b. Quel est le sens de variation de la suite (un)n>2 ? c. Montrer que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ? 2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif n, F(n) = n−1 Xk=0 uk . b. Dans cette question, toute trace

tangente à Cf au point d’abscisse 0. EXERCICE 2 – 4 points On considère la suite numérique u définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n : 1 un+1 = un + n − 1. 3 Soit v la suite définie pour tout entier naturel n par : vn = 4un − 6n + 15. 1. Montrer que v est une suite géométrique. 2. Calculer v0 puis vn en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, un = 19 1 6n - 15 × n+ . 4 3 4 3. Déterminer la limite de la suite u. 4. Montrer que u peut s’écrire sous la forme u = t +

réelle. Montrer que si la suite (un )n∈N converge au sens de C ÉSARO et est monotone, alors la suite (un )n∈N converge. Correction [005221] Exercice 3 **IT Pour n entier naturel non nul, on pose Hn = ∑nk=1 1k (série harmonique). 1. Montrer que : ∀n ∈ N∗ , ln(n + 1) < Hn < 1 + ln(n) et en déduire limn→+∞ Hn . 2. Pour n entier naturel non nul, on pose un = Hn − ln(n) et vn = Hn − ln(n + 1). Montrer que les suites (un ) et (vn ) convergent vers un réel γ ∈ 12 , 1 (γ est appelée la constante d’E ULER)

nombres réels définie par o  n+1  n   et pour tout entier naturel n, 2 5 . Pour tout entier naturel n , on appelle Mn le point du cercle C de centre 6    O et de rayon 1 tel que l'angle u,OMn ait pour mesure n .   1.Placez les douze points Mo ,M1 ,M2 ,...,M11 . 2.On appelle zn l'affixe de Mn .   5n  i   e2 6  Montrer que pour tout entier naturel n , on a l'égalité zn  3.a.Pour tout entier naturel n, montrer que l'on a les propriétés suivantes: - les points