Entier naturel

selon ce modèle, de la machine au bout de n années de fonctionnement à partir de 2005. Ainsi, v1 est la valeur estimée de la machine en 2006. 1. a. Montrer que la suite ([pic]est géométrique ; déterminer sa raison. b. Montrer que, pour tout entier naturel n, [pic]. 2. Le tableau suivant est un extrait d’une feuille de calculs. II donne la valeur estimée [pic]de la machine pour les années 2005 à 2011. Le format de la colonne D est un format numérique à zéro décimale. | |A

d’une fonction continue sur un segment Rappel 2. Si f est une fonction continue sur un segment [a, b] dont F est une primitive, il vient : b a x=b f (x) dx = [F (x)]x=a = F (b) − F (a) +C +C x−a b xα+1 α+1 1 2 Exemple 1. Pour tout entier naturel n : +C 0 π/2 = ln[(x − a)2 + b2 )] + i arctan On reviendra plus loin sur cette derni`re primitive. e Remarque 2 (Homog´n´it´). Pour retrouver rapidement des r´sultats e e e e tels que : 1 x dx +C = arctan x2 + a2 a a e e e a On peut

courbe représentative de la fonction �� est une parabole de sommet �� 3 4 ; 1 8 �� −∞ 3 4 1 8 +∞ ���� 2 + ���� + �� 2. Les fonctions polynômes de degré n Définition : Une fonction �� définie sur ℝ est une fonction polynôme, s’il existe un entier naturel �� et des réels ��0 , ��1 , ��2 … ���� tels que l’on puisse écrire : �� �� = ���� �� �� + ⋯ + ��2 �� 2 + ��1 �� + ��0 Si ���� ≠ 0, l’entier �� s’appelle le degré de la fonction polynôme Les réels ��0 , ��1 , ��2 … ���� sont appelés les coefficients

f (5) et la décroissance de la fonction f. On acceptera aussi bien des inégalités strictes que des inégalités larges. 1 0,75 3. c) 0,75 Partie B 1. a) 1. b) 4 , d’où le résultat. e 2n e 4 4 1 4 1 = × n = u n . On en Pour tout entier naturel n, u n+1 = n +1 = n 2 2 2 ×2 2 2 1 déduit que la suite ( un ) est une suite géométrique de raison q = et de 2 premier terme u0 = f (0) = 4 . u n = 4e −n ln 2 = n ln 2 4 = 4 ln( 2 n ) = 0,5 1 2. 3. Partie C 1 1−

et b > 0. Alors il existe k ∈ N tel que bk > a. • 6 Propriétés ∀a ∈ R ∀b ∈ R |a| 0 ; |a| = 0 ⇐⇒ a = 0 ; |ab| = |a| |b| ; |a + b| |a| + |b| ; |a| − |b| |a − b| . Partie entière Étant donné un nombre réel x, il existe un plus grand entier relatif, noté E(x) ou [x], tel que E(x) x. On l'appelle la partie entière de x. On a donc, par définition : E(x) x < E(x) + 1 . Analyse en 30 fiches 1 Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie décimale quand x < 0 ; par

dénombrable d’évènements, c’est un point technique qu’on ne justifiera que dans un cours de 3 ème année d’université. Rappelons qu’un ensemble E avec une infinité d’éléments est dit dénombrable si il existe une bijection entre E et l’ensemble N des entiers positifs: l’ensemble Q des nombres rationnels est dénombrable, le segment [0,1] ne l’est pas, comme nous l’avons vu en première année. Finalement, ce point délicat: "on ne considère pas nécessairement tout sous ensemble A de Ω comme un élément de

Théorie des Langages LFI 2 2009-2010 9 I.2. Langage Définition 6. Langage : On définit un langage sur un alphabet X comme un sous ensemble de X* Exemple: • Si le vocabulaire est X = {0, 1, 2, 3, …9} L = { représentations décimales des nombres entiers naturels} L = |N • Si le vocabulaire est X = {x1, x2, +, *, (, )} L = {expressions arithmétiques parenthésées} manipulant x1, x2, + et * Leila Jemni Ben Ayed Théorie des Langages LFI 2 2009-2010 10 I.2. Langage • Si X est la vocabulaire du langage

couleur et sa valeur. Calculer la probabilité de chacun des événements : a) A : « la carte tirée est un cœur » ; b) B : « la carte tirée est une dame ». 8. Utilisée dans un tableur, la formule : =ALEA.ENTRE.BORNES(1 ;10) retourne un entier naturel choisi au hasard entre 1 et 10. a) Quelle est la probabilité d’obtenir chaque nombre ? b) Quelle est la probabilité de l’événement : « le nombre est multiple de 3 » ? 9. On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer trois

= +∞ ? n →+∞ ( ) b) Que peut-on dire de la limite de un ? Prouver le résultat annoncé. ( ) définie par u0 = 1 et, pour tout n ∈» , ᕢ On considère la suite u n un +1 = −un + 2n + 1. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a un = n + ( −1)n . ( ) b) Déterminer alors la limite de un . Exercice 2 (7,5 points) 3u + 2 Soit (un ) la suite définie par u 0 = 6 et un +1 = n pour n ≥ 0. un + 4 3x + 2 ᕡ Démontrer que la fonction f définie sur 

le nombre d’individus que doit comporter l’échantillon (la taille de l’échantillon). L’entier voisin de N/n sera noté r et appelé raison de sondage ou pas de sondage. L’échantillonnage systématique  Pour  Choisir au hasard un entier naturel d entre 1 et r  (cet entier sera le point de départ),   constituer l’échantillon il faut :   L’individu dont le numéro correspond à d est le premier individu, Pour sélectionner les autres, il suffit d’ajouter à d la raison de sondage : les individus choisis