Entier naturel

Partie A On considère la suite (wn ) définie par : w0 = 2 et, pour tout entier naturel n : wn+1 = On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs. 1 + 3wn . 3 + wn 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : wn > 1. Notons, pour tout entier n ⩾ 0, la propriété P(n) : wn > 1. ● Initialisation : pour n = 0, w0 = 2 donc w0 > 1, ainsi P(0) est vraie. ● Hérédité : Soit un entier n ⩾ 0. Supposons P(n) vraie ie wn > 1. Montrons que P(n + 1) est vraie

2. a. VRAI b. FAUX : la fonction racine carrée est continue en 0 mais pas dérivable en 0 c. VRAI 3. a. FAUX : Considérons pour tout entier naturel n les suites (un) et (vn) définies par : un = n3 et vn = – n2. On a alors un + vn = n3 – n2 = n2(n – 1). On a lim un = +∞ ; lim vn = −∞ et lim (un + vn) = +∞. b. VRAI c. VRAI d. FAUX : Considérons pour tout entier naturel n non nul les suites (un) et (vn) définies par : 1 1 un = 2 + et vn = . n n 1 2+ n u On a alors n = = 2n + 1 (vn ≠ 0) vn 1 n u On a

de combien de jours aurez-vous gagné 10 000 € ? ». Nous allons voir comment on peut aider Marc à répondre à cette question. 1) Pour tout entier naturel n non nul, on note un le montant total en euros versé à Marc le n-ième jour. Ainsi, u0 = 100. a) Calculer u1. b) Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, un+1 = 1,05 un + 20. 2) Pour tout entier naturel n non nul, on pose vn = un + 400. a) Calculer v0. b) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique et préciser sa raison. c) Exprimer

Dire que la suite est majorée signifie qu’il existe un réel Dire que la suite est minorée signifie qu’il existe un réel Dire que est bornée signifie qu’il existe deux réels et tel que pour tout entier naturel , tel que pour tout entier naturel , tels que pour tout entier naturel n, Méthodes pour démontrer qu’une suite est majorée, minorée ou bornée : . Remarque importante :   Pour démontrer qu’une suite est majorée par (ou minorée par , on peut :  Étudier algébriquement

ST 3. Montrer que pour tout entier naturel n, 0≤un≤un+1≤1. Montrons cette relation par récurrence Pour tout entier naturel n, posons P(n) : « 0≤un≤un+1≤ » INITIALISATION : pour n=0, on a " ST ST = × V W V W × V W = VW W W V VT W W = V W X W = × = Y # ≤ JK=L [(0) ,! >- / \) " = = = ! " = = \ # < J 2 Kù DK - = = 0 K= / = 0 ≤ \ \ " ≤ HEREDITE : soit k un entier naturel, Si P(k) est vrai alors 0 ≤ D’où

LIBAN BACCALAUREAT S 2003 Exercice 1 : Commun à tous les candidats Retour vers l'accueil Une urne contient 4 boules noires et 2 boules blanches. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l'épreuve qui consiste à tirer une boule puis à la remettre dans l'urne. On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées et que les tirages sont indépendants. On note pn la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des ( n -1) premiers tirages et une

→ +∞ Exercice 1 : ( sur 2) Soit u n=3+ Exercice 2 : ( sur 3) Déterminer la limite des suites suivantes : 2 n n −2 n +3 n+1 2 −3 w = ; u n=3 n3 – 4 n+2 ; v n = n 2 n 3 n +5 n 3 −1 Exercice 3 : (sur 2) Les suites u et v sont définies pour tout entier naturel n  2, par : n n u n= et v n = √n √ n+1 1°) Déterminer la limite de u n . 2°) Montrer que pour n  2, u n⩽v n 3°) En déduire la limite de v n . Exercice 4 : ( sur 3) 1°) On considère une suite u définie sur ℕ et telle que pour tout n ∈ ℕ, u n>0

spécialité 5 points Soit la suite numérique (un ) définie sur N par : 2 1 u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = un + n + 1. 3 3 1. a. Calculer u1 , u2 , u3 et u4 . On pourra en donner des valeurs approchées à 10−2 près. b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite. 2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, un n + 3. b. Démontrer que pour tout entier naturel n, un+1 − un = 1 (n + 3 − un ) . 3 c. En déduire une validation de la conjecture précédente

trois premiers termes de cette suite. 2° Démontrer que, pour tout entier naturel n, – 1 Un 0. 3° On admet que Un est toujours différent de – et on alors pour tout entier naturel n, Vn = a) Montrer que la suite (Vn) est géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme. b) Exprimer Vn en fonction de n. 4° Exprimer Un en fonction de Vn, puis en fonction de n 5 points Démontrer que pour tout entier naturel n *, 12 + 22 + 32 + … + n2 = 3 points Soit f la fonction

TS1 Contrôle du jeudi 17 janvier 2013 (50 minutes) V. (1 point) Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (, P) qui suit la loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,42. Pour quelle valeur de l’entier naturel k la probabilité P (X = k) est-elle maximale ? Répondre sans justifier ni faire de phrase. Prénom et nom : .…………………………………………………. Note : …… /20 VI. (5 points) ………………………. I. (2 points) Déterminer les dérivées des fonctions f et g définies respectivement