Entier naturel

Démontrer que a h(x) dx = A. P. M. E. P. Baccalauréat S E XERCICE 2 Commun à tous les candidats 5 points Partie A Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1 = aun + b (a et b réels non nuls tels que a = 1). On pose, pour tout entier naturel n, v n = un − b . 1−a 1. Démontrer que, la suite (v n ) est géométrique de raison a. 2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un ) a pour b limite . 1−a

RSA des noms des ses auteurs : Ron Rivest, Adi Shamir et Léonard Adleman. Le chef du réseau choisit deux nombres premiers p et q puis calcule leur produit n . Il choisit ensuite un entier naturel e tel que PGCD  e ,  p − 1   q − 1  = 1 . Il diffuse la clef publique { n ; e } . La clef privée est un entier naturel d tel que de ≡1 [  p − 1   q −1  ] 1) La clef publique. On choisit p = 53 et q = 79 . • Vérifier que p et q sont premiers. • Calculer n et  p − 1   q − 1  On prend e = 119 •

) + p(N2 ∩ R2 ) = p(N1 ) + p(N2) × p N2 (R2 ) = 0, 2 + 0, 8 × 0, 1 = 0, 28 Amérique du Nord 2 3 juin 2010 Baccalauréat S 2. Ici on veut p R (N2 ) c’est p R (N2 ) = p(N2 ∩R) p(R) = p(N2 ∩R 2 ) p(R) = 0,8×0,1 028 = 2 7 3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue n tirages successifs d’une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l’urne). On répète donc n fois l’expérience à deux issues : « tirer une rouge numérotée 1 » de probabilité p = 0, 2 car

zn . On note A n le point du On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n, zn+1 = 2 plan d’affixe zn . 1. Calculer z1 , z2 , z3 , z4 et vérifier que z4 est un nombre réel. Placer les points A0 , A1 , A2 , A3 et A4 sur une figure. Baccalauréat S : l’intégrale 2006 Baccalauréat S 2. Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |. Justifier que la suite (un ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n, un = 2 1 n . 2 3. À partir de quel rang

Amérique du nord mai 2004. Commun à tous les candidats Partie I 8 points On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle : (En) y ' + y = xn –x e . n! 1° On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur IR , vérifient, pour tout x réel : g (x)= h(x) e–x . xn . a) Montrer que g est solution de (En) si et seulement si, pour tout x réel, h '(x) = n! b) En déduire la fonction h associée à une solution g de (En), sachant que

que, pour tout entier naturel n, [pic]. 1. En utilisant un tableur ou une calculatrice calculer et représenter graphiquement les 20 premiers termes de cette suite. Le nuage de points obtenus a-t-il une particularité ? Si oui laquelle ? Appeler l’examinateur pour une vérification de la particularité trouvée. 2. n étant donné, on peut calculer la valeur de un si on connaît la valeur de un−1. On voudrait à présent pouvoir calculer, pour n’importe quelle valeur de l’entier naturel non nul n, la

dès que n est assez grand » , alors on dit que | | |la suite ( u n ) a pour limite + . |Pour tout réel M > 0 , il existe un entier naturel p , tel que, si | | |n p , alors u n > M | |On note +)) u n = +

............................................................................ 12 OPERATIONS DE BASE SUR ENTIERS NATURELS ..................................................................................................... 12 3.1. Addition de deux entiers naturels .................................................................................................... 12 4. OPERATIONS SUR LES ENTIERS.......................................................................................................

Chapitre1 : Nombres entiers et rationnels 1. Multiples diviseurs : définition 1.1 Définition a et b sont deux entiers naturels (non nuls). SI a=b×c avec c un entier ALORS on dit que b est un diviseur de a et que a est un multiple de b. Exemple : 8=4×2 donc 8 est un multiple de 2 ; 8 est un multiple de 4 ; 8 est divisible par 2 ; 8 est divisible par 4 ; 2 est un diviseur de8 ; 4 est un diviseur de 8. 1.2 Critères de divisibilité 1.3 Nombre premier Définition : Un nombre entier positif qui admet exactement

y . 1 ex . 2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, ex Partie B ( ) n = enx . e− nx 1 + e− x On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = 1. a. Montrer que u0 + u1 = 1. b. Calculer u1. En déduire u0. 2. Montrer que pour tout entier naturel n, un ≥ 0 . 3. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un+1 + un = b. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, un ≤ 4. Déterminer la limite de la suite (un). 2. Exercice